Les probabilités - publié le 05/11/2023

Thèmes abordés

Probabilités, tirage, variable aléatoire, loi de probabilité, espérance mathématiques, loi de Poisson

Résumé du document

Ce document comprend trois exercices corrigés de mathématiques sur les probabilités.

Extraits

[...] Donc en particulier PX=0=e-λ≈1,83%, la différence est très faible (environ 3,66.10-5). On cherche PX>3=1-PX=0-PX=1-PX=2-P(X=3)≈57%. Il faudrait donc rejeter environ 57% des pages. On cherche k tel que PX>k=0,01, on peut calculer les termes suivant à chaque fois en augmentant k : PX>4≈37%PX>5≈21%PX>6≈11%PX>7≈5%PX>8≈2%PX>9≈0,8% Il faut tolérer 9 fautes par pages pour rejeter moins de de celles-ci. Problème 3 : Soit L qui suit la loi N(100,1), notons la loi centrée réduite L'=L-Mσ. On cherche P98≤L≤102=P98-Mσ≤L'≤102-Mσ=P-2≤L'≤2=1-2PL≤-2. Avec un tableau de la loi normale centrée réduit on trouve alors que P98≤L≤102≈0,95. [...]

[...] Problème 2 : Chaque caractère est bien saisi avec une probabilité de 9991000. Ainsi, pour n'avoir aucune faute sur une page, il n'y a qu'une possibilité qui est que chaque caractère soit correct, cela avec une probabilité de PX=0=99910004000≈1,83%. On a exactement le même résultat en entrant 99910004000 ou e4000ln9991000. De même que précédemment on répète 4000 fois sur chaque page une expérience aléatoire avec un probabilités de succès de p=1/1000. Tous ces tirages sont indépendants et constituent des épreuves de Bernoulli de paramètre p. [...]

[...] On peut donc approximer la loi binomiale B(100 par une loi de Poisson de paramètre λ=np=3. Ainsi, il vient PX=8=388 e-3≈0,01PX>2=1-PX=0-PX=1≈0,80. On a une chance sur 3 pour que la plaque passe par A et 2/3 qu'elle passe par B. Si elle passe par A il y a de chance qu'elle soit rejetée et si elle passe par B 9%. La probabilité d'être rejeté est donc 13x0,03+23x0,09=0,07. Cette fois-ci, l'inconnue est x le nombre de plaques coupées par B et on cherche à avoir 500500+xx0,03+x500+xx0,09≤0,05 soit 500x0,03+xx0,09≤0,05(500+x) ou encore 15+0,09x≤25+0,05x puis 0,04x≤10 et enfin x≤100,04=250=xmax. [...]

[...] Maintenant, il faudrait savoir combien il y a de façons de faire un tel tirage. Pour se faire on peut dire qu'on doit se fixes deux positions de tirage des jetons rouges parmi les 5 ce qui fait 52 possibilités et ensuite tirer 3 jetons blancs seule possibilité). Ainsi, la probabilité d'un tel tirage est 52252353≈0,35. On répète 5 fois à chacun des tirages une expérience aléatoire avec un probabilités de succès de p=25=0,4. Tous ces tirages sont indépendants et constituent des épreuves de Bernoulli de paramètre p. [...]