Preuves des formules de dérivation

Thèmes abordés

Preuve, formules de dérivations, variable, f, g, x, c, constante, fonction, équation, binôme de Newtown, factorise, dérivée, banale, récurrence, initialisation, hérédité

Résumé du document

Ce document regroupe plusieurs formules de dérivations et leurs preuves.

Extraits

[...] Preuves des formules de dérivation Introduction Voici la liste des dérivées qui seront prouvées dans ce dossier; Avec une variable, f et des fonctions et une constante. Pour le bien des preuves suivantes, nous partons de la définition d'une dérivée comme étant : Preuves Nous voulons prouver que (x[n])′ = nx[n][−1]. Grâce au binôme de Newtown, nous pouvons remplacer + h)n dans cette équation. On factorise : Comme le seul composant de cette parenthèse qui n'a pas de h est nx[n][−1], nous trouvons : = nxn−1 = (xn)′ Nous voulons prouver que + g(x))′ = f[′](x) + g[′](x). [...]

[...] On calcule : = (f1 · f[n])′ = f′ · fn + f · HR = f′ · fn + f · n · fn−1 · f′ (fn + nfn)f′ = + 1)f(n+1)−1 · f′ Ainsi la formule est vraie pour n + 1. (mdg et mdd veulent dire respectivement membre de gauche et membre de droit). Nous voulons prouver que . Or selon le point 2.6, (f[n])′ = nf[n][−1]f[′],n ∈ R[∗] et que −1 ∈ R[∗], alors : Nous voulons prouver que . Selon le point 2.5, nous trouvons. = f′ · g−1 + f · (g[−1])[′] Selon le point 2.6, nous trouvons (g[−1])[′]. [...]