Preuves des 8 dérivées de bases

Résumé du document

Le document suivant présente 8 preuves de dérivées de bases détaillées et prévu pour l'apprentissage.
Une introduction aux dérivées est conseillée avant de lire ce document.

Extraits

[...] c : R → x → c Ceci est la définition d'une fonction constante banale. c(x + − c′ = lim h→0 h c−c = lim = lim 0 = 0 h→0 h→0 h 2.4 c·f Nous voulons prouver que · f )′ = c(f )′ , c ∈ R. c · f + − cf h→0 h c(f + − f = lim h→0 h f + − f = c · lim = c(f )′ h→0 h · f (x))′ = lim 2.5 f ·g Nous voulons prouver que · g(x))′ = f ′ · + f · g ′ · + − · h→0 h f + h)g(x + − f = lim h→0 h Pour l'étape suivante nous allons injecter −f + + f + h). [...]

[...] Pour le bien des preuves suivantes, nous partons de la définition d'une dérivée comme étant : f + − f f ′ = lim h→0 h 2 Preuves 2.1 xn Nous voulons prouver que (xn )′ = nxn− + h)n − (xn ) h→0 h (xn )′ = lim Grâce au binôme de Newtown, nous pouvons remplacer + h)n dans cette équation. (xn + nhxn−1 + . + nxhn−1 + hn ) − (xn ) = lim h→0 h On factorise : h(nxn−1 + . [...]

[...] (mdg et mdd veulent dire respectivement membre de gauche et membre de droit) f Nous voulons prouver que 1 f′ = −f ′ . f = −1 )′ f′ Or selon le point 2.6, n )′ = nf n−1 f ′ , n ∈ R∗ et que −1 ∈ R∗ , alors : = −1 · f (−1)−1 · f ′ = 2.8 −f ′ f2 ( fg ) Nous voulons prouver que ( fg )′ = )′ ·g−f ·(g)′ . [...]

[...] g2 f ( )′ = · g −1 )′ g Selon le point 2.5, nous trouvons. = f ′ · g−1 + f · −1 )′ 3 Selon le point 2.6, nous trouvons −1 )′ . [...]