Optimisation sous contrainte

Thèmes abordés

Optimisation sous contrainte, fonction mathématique, contrainte linéaire, fonction quadratique

Résumé du document

Le document est un devoir corrigé de niveau licence portant sur le thème de l'optimisation sous contrainte (matrices, vecteurs, conditions d'optimalité...)

Extraits

[...] Conditions d'optimalité : Pour K1 : il existe λ∈R tel que : AC1TC10uλ=bf1 Pour K2 : il existe tel que : Au+C2Tλ=b C2u<=f2 λC2u-f2=0 Pour K3 : il existe λ1, λ2,λ3∈R+ tel que : Au+C3Tλ=b C3u<=f3 λiC3u-f3i=0 D'après la question précédente, on obtient les équations suivantes : 2u1+u2+2λ=1 u1+2u2-u3=1 -u2+2u3+λ=0 2u1+u3=1 Ce système est équivalent à : u3=1-2u1 u2=1-1,5u1 u1=4λ λ=19 On obtient ainsi : u1=49 u2=13 u3=19 49,13,19 est le point en lequel le minimum est atteint. D'après la question on obtient : 2u1+u2=1 u1+2u2-u3-λ=1 -u2+2u3=0 λ-u2=0 On a alors : En prenant λ=0 : u2>=0 u2=2u3 u1=12-u22=12-u3 12-u3+4u3-u3=1 Ce qui nous donne : u3=14 u1=14 u2=12 14,12,14 est le point en lequel le minimum est atteint. [...]

[...] Optimisation sous contrainte On a : Pour K1 : C1=(201) et Pour K2 : donc on obtient C2=(0-10) et Pour K3, on a : 2v1+v3<=1 2v1+v3>=1 donc -2v1-v3<=-1 D'où : C3=201-20-10-10 f3=1-10 K1, K2 et K3 sont des convexes fermés de R3. De plus A est définie positive. Ainsi J est stricement convexe sur K1, K2 ou encore sur K3. [...]