TPE sur le nombre d'Or : généralités historiques et applications mathématiques

Résumé du document

Le nombre d'or est un nombre irrationnel, ((1+V5)/2), qui définirait la beauté. On trouve ce nombre dans de multiples arts comme l'architecture avec le Parthénon par exemple mais aussi dans la musique, la peinture (La Naissance de Vénus a été peinte sur une toile dont les dimensions sont celles d'un rectangle d'or), la sculpture (...)

Extraits

[...] Rectangle d'or Un rectangle d'or est un rectangle dont le rapport de la longueur sur la largeur est égal à ϕ. Pour construire un rectangle d'or : On part d'un carré. On prend la demi-diagonale de ce carré, c'est à dire le segment qui part du milieu d'un des côtés jusqu'à l'un des deux sommets du côté opposé. On rabat cette demi-diagonale sur la base du carré. Enfin, on trace le rectangle partant du carré et dont l'un des sommets a été désigné précédemment pas le rabattement de la demi-diagonale. On dispose alors d'un rectangle d'or. [...]

[...] Ces quatre points d'or sont les suivants : Chez Hergé, cela donne : Marcus Pollio Vitruve (Ier siècle avant architecte et ingénieur militaire romain, rédige De Architectura, un ouvrage en dix volumes qui traite du nombre d'or dans l'architecture. Il évoque longuement les proportions du corps humain. Dans le traité Liber Abaci (1202), Fibonacci nous livre une suite de nombres qui conduisent au nombre d'or. Fibonacci est né à Pise en 1175. Son vrai nom est Léonardo Pisano ou Léonard de Pise. Fibonacci est un surnom qui vient de filius Bonacci qui signifie fils de Bonaccio Bonacci signifie chanceux, de bonne fortune. [...]

[...] Il faut donc : x/y = D'où : x/y = = 1 - x/y 1 = 0 Soit : a = x/y On a : - a 1 = 0 = - a1 = = - 0.618 a2 = = 1.618 On ne peut pas garder la solution négative de cette équation car des longueurs ne peuvent pas être négatives. Le nombre d'or est donc la solution positive de l'équation. La valeur exacte du nombre est donc soit environ Même dans la bande dessinée on peut trouver le nombre d'or. Effectivement, dans une bulle de 5cm sur 3cm, on peut trouver quatre points différents sur lesquels un dessinateur pourra faire apparaître les éléments importants de sa bulle. [...]

[...] En effet, c'est lui qui les a ramenées d'Algérie, où travaillait son père, dans son livre Liber Abaci ainsi que d'autres connaissances acquises là-bas. Fibonacci est surtout connu grâce à sa suite, la suite de Fibonacci. Un nombre de cette suite s'obtient en ajoutant les deux précédents de la suite. Les deux premiers termes de sa suite étant 1 et on obtient : Indice n Fn Le plus intéressant est lors du calcul du quotient de deux nombres successifs. En effet, on remarque alors que l'on obtient des nombres se rapprochant de plus en plus de ϕ. [...]

[...] Généralités historiques, quelques applications Il est désigné par la lettre grecque ϕ (phi) depuis 1914, grâce à Théodore Cook, en hommage à Phidias, sculpteur grec ( Siècle avant qui décora le Parthénon à Athènes. Le terme nombre d'or, lui, n'est apparu qu'en 1933. C'est Matila Ghyka, un prince roumain, diplomate et ingénieur, qui l'invente et lui consacre un ouvrage volumineux : Le nombre d'or. Rites et rythmes pythagoriciens dans le développement de la civilisation occidentale (1931). Cet ouvrage traite du nombre d'or dans la nature : dans les fleurs et leurs pétales, dans les coquillages et dans les poissons par exemple. [...]