Nature et somme des séries numériques

Thèmes abordés

Séries numériques, nature d'une série, somme d'une série, série convergente, série divergente, règle de d'Alembert

Résumé du document

Dans cet exercice de niveau licence, il s'agit de déterminer la nature et la somme des 8 séries proposées.

Extraits

[...] un=4n-3n(n2-4)~4n2 à l'infinity Donc la série converge. 4n-3n(n2-4)=18(5n-2+6n+-11n+2) Ainsi : k=3infinityuk=16796 un=n+1-2n+12n+1 k=0nuk=n+12n+1+12k=0n12k n+12n+1-->0 à l'infinityet k=0n12kest convergente et k=0infinity12k=2 n=0infinityn+1-2n+12n+1=1 un= n+14+n-14-2n4 k=0nuk=2+e1n+1ln4-e1nln4 donc la série converge et : k=0infinityuk=2 un=5n+(-2)n10n=510n+-1n210n=12n+-1n15n 12n est convergente et n=0infinity12n=2 vn=-1n15non a :-1nvn vn+1 vn et à l'infinity donc vn est convergente Donc : n=0infinity5n+(-2)n10n=2+56=176 un=2nn nn n>0 Critère de d'Alembert pour une STP strictement : un+1un=2n+1n+1 (n+1)n+12nn nn=2n+1n+1 (n+1)n+1*nn2nn =2n+12n*n+1 n *nn(n+1)n+1 un+1un=2*n+1*nnn+1n+1=2*nnn+1n=2*nn+1n=2*nn+1n=2*1-1n+1n=2*enln1-1n+1~2*en*-1n+1-->2e quand infinity or 2e0 1nsinPI2n~1n*PI2n à l'infinity donc la série est convergente (1nα est convergente pour α>1) un=n+a1+n²+bn n>0 et n+a1+n²+bn=a1+n²+n²+bn>1n car a et b>0 donc la série diverge un=n1+a2n Plusieurs cas de figures diverge grossièrement Si un=n1+a2n~na2n à l'infini:la série converge. [...]