Matrices, diagonalisation et fonctions à plusieurs variables

Thèmes abordés

Licence 2 Économie-gestion, matrice, diagonialisation, fonction à plusieurs variables, valeur propre, matrice diagonale, matrice hessienne

Résumé du document

Il s'agit de la correction d'exercices de mathématiques dans le cadre de la Licence 2 Économie-gestion portant sur les matrices, la diagonalisation et les fonctions à plusieurs variables.

Extraits

[...] Matrices et Diagonalisation Exercice 1 (10 pts) Soit Montrez que et sont les valeurs propres de M. Trouvez un vecteur propre associé à chaque valeur propre, en déduire la matrice de passage P et la matrice diagonale D. Inversez la matrice P. Fonctions à plusieurs variables Exercice 2 (10pts) f : R2 R 2x3 + 9xy2 + 15x2 + 27y2 Quel est le domaine de définition de Déterminez le gradient de la fonction. Calculez la matrice hessienne Hess(f)(x,y) de la fonction f. [...]

[...] La fonction f étant polynomiale, il n'y a pas besoin de retirer des valeurs de ce domaine. grad(f)(x,y)=dfdx,dfdy=(6x2+9y2+30x,18xy+54y) Hess(f)(x,y)=d2fdx2d2fdydxd2fdxdyd2fdy2(x,y)=12x+3018y18y18x+54=62x+53y3y3x+9 On cherche quand le gradient est nul :{dfdx=0dfdy=0⇔{6x2+9y2+30x=018xy+54y=0⇔{2x2+3y2+10x=0y(x+3)=0⇔ ⇔{2x2+3y2+10x=0y=0oux=-3⇔{2x2+10x=0y=0ou{18+3y2-30=0x=-3⇔{x(x+5)=0y=0ou{y2=4x=-3⇔ {x=0oux=-5y=0ou{y=2ouy=-2x=-3⇔. Il y a donc quatre points critiques de coordonnées et Pour ceci, on calcule la matrice Hessienne de f en chaque point critique, et on regarde le déterminant du résultat : det(Hess(f)(0,0))=65009=6x45=270>0et d2fdx2(0,0)=5>0,(0,0)est donc un minimum local. det(Hess(f)(-5,0))=6-500-6=6x30=180>0et d2fdx2(-5,0)=-5 [...]

[...] Matrices, diagonalisation et fonctions à plusieurs variables Exercice 1 : λest une valeur propre de M si et seulement si det(M-λId)=0: det(M-λId)=0⇔2-λ40-8-10-λ035-1-λ=0. Je prends -1-λcomme pivot de Gauss: (-1-λ)2-λ4-8-10-λ=0⇔(-1-λ)((2-λ)(-10-λ)-4x(-8))=0 ⇔(-1-λ)(-20-2λ+10λ+λ2)=0⇔(-1-λ)(λ2+8λ+12)=0 Je calcule le discriminant Δdu polynome du second degré de la deuxième parenthèse : Δ=82-4x1x12=64-48=16. Ce polynome a donc deux racines : λ1=-8-162x1=-8-42=-6et λ2=-8+162x1=-8+42=-2. -1-λ=0⇔λ=-1 Il y a donc trois valeurs propres : et Soit X=abc. Pour trouver un vecteur propre associé à la valeur λ=-6, je résous l'équation matricielle MX=-6X: {2a-8b+3c=-6a4a-10b+5c=-6b-c=-6c⇔{8a-8b=010a-10b=0c=0⇔{a=bc=0. [...]