Matrices - Applications linéaires - Noyau, image, changement de bases

Thèmes abordés

Université Paris Sud, algèbre linéaire, matrice, base canonique, théorème du rang, combinaison linéaire, application linéaire, famille génératrice, bijective, matrice inversible

Résumé du document

Ce document comprend neuf exercices corrigés de niveau de première année de Licence en algèbre linéaire sur le chapitre "Matrices - Applications linéaires - Noyau, image, changement de bases".

Extraits

[...] Si f est injective alors Kerf=0R4 donc dimKerf=0 d'où dimImf=4. Or Imf⊂R3 donc dimImf<=dimR3=3, d'où une contradiction. Il n'existe pas d'application linéaire injective de R4 vers R3. Soit g:R3-->R4 une application linéaire. D'après le théorème du rang dimKerg+dimImg=dimR3=3. Si g est surjective alors Img=R4 donc dimImg=4 d'où dimKerg=-1, d'où une contradiction. Il n'existe pas d'application linéaire surjective de R3 vers R4. Soit h:R3-->R3 une application linéaire. D'après le théorème du rang dimKerh+dimImh=dimR3=3. Si h est injective alors Kerh=0R3 donc dimKerh=0 d'où dimImh=3. Et enfin Imh=R3. [...]

[...] L'application linéaire est donc injective et surjective. Elle est bijective. Et Kerf=000. Exercice 9 Il est possible de trouver une matrice A réelle 2x3 et une matrice réelle B réelle 3x2 telle que la matrice AB est un carré 2x2 inversible. Exemple : AB=100001100001=1001 est inversible. Au contraire, il n'est pas possible de trouver une matrice A réelle 2x3 et une matrice réelle B réelle 3x2 telle que la matrice BA est un carré 3x3 inversible. Démonstration : Les matrices A et B représentent des applications linéaires f:R3-->R2 et g:R2-->R3. [...]

[...] Matrices - Applications linéaires - Noyau, image, changement de bases Exercice 1 AB=a1a2a-1b12bb-1=ab+2+aba+b-a2b+2a-b2+ab+1=2+2abb2a+b3+ab AB=2132⇔2+2ab=2b=12a+b=33+ab=2 En reportant b=1 dans la première équation, on trouve a=0. En reportant b=1 dans la troisième équation, on trouve d'où une contradiction. Il n'existe donc pas de coefficients réels a et b tel que AB=a1a2a-1b12bb-1=2132. Exercice 2 Pour montrer que les matrices A et B sont inversibles, on va calculer leur forme échelonnée : A=11-21-1011-2, 11-21-1011-2|||100010001L2<--L2-L1L3<--L3-L1 11-20-22000|||100-110-101 La matrice a une ligne nulle donc son rang est et elle n'est pas inversible. [...]

[...] Conclusion : il n'existe pas d'application linéaire f de R4 vers R3 tel que : fu1=1,0,0, fu2=0,1,0,fu3=0,0,1. Exercice 7 Soit f:Rn-->Rp une application linéaire injective et un sous-espace vectoriel E⊂Rn. D'après le théorème du rang dimKerf+dimImf=dimRn=n. Si f est injective alors Kerf=0Rn donc dimKerf=0 d'où dimImf=n. Imf⊂Rp donc dimImf<=p. On a donc obligatoirement n<=p. On note f|E l'application f limitée à E. D'après le théorème du rang : dimKerf|E+dimImf|E=dimE Imf|E=fx|x∈E=fE Kerf|E=x∈E|fx=0⊂x∈Rn|fx=0=Kerf=0Rn Donc dimKerf|E<=dimKerf=0, c'est-à-dire dimKerf|E=0. En remplaçant dans l'équation du théorème du rang on a dimfE=dimE. [...]