Les Matrices - publié le 14/02/2022

Résumé du document

Ce document est une correction détaillée d'un exercice classique de Baccalauréat général portant sur les matrices.

Sont travaillées dans ce document :
- la modélisation d'un problème par des matrices
- les opérations sur les matrices
- les limites de suite

Extraits

[...] −1 [...]

[...] AX = Y ⇔ A−1 × A × X = A−1 × Y ⇔ X = A−1 × Y ATTENTION : La m´ethode de r´esolution ci-dessus fonctionne uniquement si la matrice A est belle et bien inversible On rappelle le r´esultat suivant : Une matrice estinversible si son d´ eterminant a b , det(A) = a × d − b × c. est non nul. Pour une matrice A de taille 2 × 2 : c d d −b 1 Si det(A) 0 alors A−1 = det(A) −c a Dans notre exemple, det(A) = 0.95×0.99−0.05× = 0. [...]

[...] On pose X = b ¶ µ c Déterminer, en fonction de a et les réels c et d tels que Y = . d Les résultats µ ¶ précédents permettent d'écrire que pour tout entier naturel X n+1 = AX n où vn Xn = . On peut donc en déduire que pour tout entier naturel X n = A n X cn µ ¶ µ ¶ 1 − Soient les matrices P = et Q = − a. Calculer PQ et QP . En déduire la matrice P −1 en fonction de Q. [...]

[...] Dans un premier temps : 1 − P ×Q= × − 1 × 1 + (−1) × (−5) 1 × 1 + (−1) × 1 = 5 × 1 + 1 × (−5) 5×1+1×1 = = 6Id Dans un second temps : 1 − × Q×P = − 1×1+1× × (−1) + 1 × 1 = (−5) × 1 + 1 × 5 (−5) × (−1) + 1 × 1 = = 6Id On en d´eduit que P −1 = 16 Q 4 Pour cette question il suffit de calculer en utilisant le r´esultat pr´ec´edent P −1 AP = QAP 6 −1 × × = − × 0.95 + 1 × × 0.01 + 1 × −1 = × (−5) × 0.95 + 1 × 0.05 (−5) × 0.01 + 1 × 0.99 −1 = × − 1 1×1+1× × (−1) + 1 × 1 = 6 (−4.7) × 1 + 0.94 × 5 (−4.7) × (−1) + 0.94 × 1 = −1 P AP = Par raisonnement par r´ecurrence, montrons que pour tout n ∈ N∗ la propri´et´e Pn : An = P Dn P −1 est vraie. Initialisation : Pour n = la question pr´ec´edente montre que P1 est vraie. P −1 AP = D ⇔ P P −1 AP P −1 = P DP −1 ⇔ A1 = P D1 P −1 H´ er´ edit´ e : Soit n ∈ N∗ fix´e. On suppose Pn vraie (hypoth`ese de r´ecurrence), c'est-` a-dire que An = P Dn P −1 est vraie. Montrons que Pn+1 est ´egalement vraie. [...]

[...] Vérifier que la matrice P −1 AP est une matrice diagonale D que l'on précisera. c. Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à A n = P D n P − Les résultats des questions précédentes permettent d'établir que vn = ¢ ¢ 1¡ 1¡ 1 + 5 × 94n v 0 + 1 − 94n c Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à long terme ? 13MASCSMELR1 page 6 / Correction 1. [...]