Mathématique discrète

Thèmes abordés

Logique quantifiée, suites, sommes, fonctions, arithmétique, fonction propositionnelle

Résumé du document

Le document résout plusieurs exercices de mathématiques. Les thèmes abordés sont les suivants : logique, suites, fonctions, ensembles, sommes...

Extraits

[...] On a donc bien : ce qui est équivalent à Finalement 2[nd] cas : on suppose que Alors on a A=B et donc l'équivalence est encore vraie. Si l'un des ensemble est vide, les équivalences sont immédiates. Supposons donc que les ensembles A et B soient non vides : Montrons : A⊆B?A∩B=A : On a toujours A∩B⊂A. Supposons maintenant A⊆B. Soit x∈A. Comme on a aussi x∈B. Ainsi x∈A∩B. D'où A⊂A∩B. D'où : A⊆B?A∩B=A. Supposons A∩B=A. Soit x∈A. Alors x∈A∩B puisque A∩B=A. Donc x∈B. [...]

[...] Les trois propositions sont logiquement équivalentes. On a A⊆A∪B. Ainsi, en utilisant ce qui précède, on obtient : A∩A∪B=A. On a A∩B⊆A. Ainsi, en utilisant ce qui précède, on obtient : A∩B∪A=A. Finalement : : A∩A∪B=A∪A∩B=A Partie C Etablissons la table d'appartenance pour l'ensemble figurant de le membre de gauche de l'égalité : A B C D B?C B∩D A∩B A∩B?C∪C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Etablissons la table d'appartenance pour l'ensemble figurant dans le membre de droite de l'égalité : A B C D A∩B B∩C B∩C-D C∪A∩B-B∩C-D 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 En comparant les tables d'appartenance, on en déduit que l'égalité donnée est vraie. [...]

[...] Ainsi : A⊆B. On a donc A∩B=A?A⊆B. On a démontré : A⊆B?A∩B=A. Montrons : A⊆B?A∪B=B : On a toujours B⊂A∪B. Supposons maintenant A⊆B. Soit x∈A∪B. On a donc x∈A ou . Si comme on a aussi x∈B. Ainsi, dans tous les cas x∈B. D'où A∪B⊂B. Ainsi : A⊆B?A∪B=B. Supposons A∪B=B. Soit x∈A. Alors x∈A∪B donc x∈B puisque A∪B=B. Ainsi A∪B=B?A⊆B On a démontré : A⊆B?A∪B=B. [...]

[...] Partie B La proposition est fausse. En effet, en prenant x=3 et on a bien 3=y. En prenant par exemple x=3 et on a bien x=4. La proposition est fausse. En prenant y=0 par exemple, nous n'aurons jamais La proposition est vraie. [...]

[...] (remarque : la question est exactement la même que la question 6). Il doit y avoir une erreur d'énoncé...) La proposition est fausse. En effet, pour n'importe quel x choisi, on aura par exemple, en prenant mais pas Q(x,y). La proposition est fausse. On a -Px,y:x>=y. Supposons qu'on ait -Px,y. On a alors : donc -Qx,y. Les ensembles et les fonctions QUESTION 3 Partie A A=0,1 Puisque on a A∩B=A et A∪B=B. Ainsi l'ensemble cherché est l'ensemble Or on sait que, d'une manière générale, on a : Ainsi Il en est de même pour Finalement on obtient : B\A∪C\B=2∪3=2,3 On a : PA=∅,0,1,0,1. [...]