La Loi de Poisson

Résumé du document

Il s'agit d'un tutorial de statistique sur la Loi de Poisson.
Cette loi a longtemps été utilisée en statistique pour calculer les événements rares, mais elle est de plus en plus utilisée dans les télécommunications , le contrôle de qualité statistique, la description de certains phénomènes liés à la désintégration radioactive, la biologie, la météorologie, la finance pour modéliser la probabilité de défaut d'un crédit…

Extraits

[...] Pour l'estimateur θ2 la courbe de puissance est moins marqu´e. Il y'a un petit pallier pour les valeurs proches de 1 et pour e les θ ´loign´s, la discrimination est moins forte, particuli´rement pour las e e e valeurs de θ sup´rieures ` 1. D'ailleurs, le minimum semble ˆtre atteint pour e a e θ= Tout cela peut sans doute s'expliquer par le fait que cet estimateur est asymptotiquement sans biais et qu'ainsi la moyenne empirique peut ˆtre e diff´rente de 1. [...]

[...] On observe dans le cas du premier estimateur une r´partition relativement e attendue puisqu'il s'agit de l'estmateur du maximum de vraisemblance, qui est par ailleurs sans biais. La distribution semble ainsi centr´e avec un pic e notable en θ = Cette fois-ci, il y a un plus grand nombre de valeurs ”aberrantes” avec une r´partition plutˆt dissym´trique par rapport ` θ = 1. e o e a 4 Question Risque quadratique Tˆchons maintenant d'estimer la fonction de risque quadratique associ´e a e a ` chacune des deux estimateurs. [...]

[...] La Loi de Poisson Question 1 : G´n´rations des ´chantillons e e e Cette premi`re question consiste ` g´n´rer un certain nombre d'´chantillons e a e e e sous le logiciel R. Pour cela, on initialise, comme le sugg`re l'´nonc´, le e e e g´n´rateur de la loi de R ` l'aide de la commande set seed(96). On peut e e a ensuite tirer les r´alisations d'une variable al´atoire suivant une loi e e de Poisson de param`tre θ, θ parcourant Finalement, on e regroupe ces diff´rents valeurs dans une matrice tridimensionnelle correspone dant ` 500 ´chantillons de taille n=20 pour les vingt valeurs de θ. [...]

[...] On obtient finalement: p1 = ˆ p2 = ˆ On constate que la couverture est plus pour l'intervalle de confiance e e asymptotique. Cela peut s'expliquer par le fait que la taille IC1 se r´duise e avec le nombre d'observations dans chaque ´chantillon, qui est ´gal ` 20, un e e a entier assez petit. Ainsi, cet intervalle de confiance est relativement ´tendu, e ce qui explique le taux En revanche, la m´thode utilis´e pour le boote e e e strap demande un nombre de r´´chantillonnages importants afin d'estimer ee au mieux la valeur des diff´rents quantiles. [...]

[...] En effet, pour θ = 1 la formule de ee e la puissance que l'on utilise devient celle du risque de premi`re esp`ce que e e nous avons fix´ ` 5%. il est donc raisonnable que notre estimateur tende e a vers cette valeur pour θ qui tend vers 1. De plus, plus on s'´loigne de cette e valeur, plus la puissance est ce qui s'explique par le fait que plus e e l'´cart est important plus la probabilit´ de se tromper dans l'acceptation e e du test est faible. En revanche, pour les valeurs proches de on a plus ˆ de chance de se tromper. [...]