La logique, les ensembles, les suites et les fonctions

Thèmes abordés

Logique propositionnelle, logique quantifiée, fonction, suite, somme, équivalence, table d'appartenance, étude de l'injectivité, nombres entiers naturels, suite géométrique

Résumé du document

Ce document contient une série d'exercices corrigés de mathématiques portant sur la logique propositionnelle, la logique quantifiée, les ensembles et les fonctions, et finalement sur les suites et les fonctions.

Extraits

[...] En prenant par exemple x=3 et on a bien x=4. La proposition est fausse. En prenant y=0 par exemple, nous n'aurons jamais La proposition est vraie. En prenant par exemple on aura bien : Px,y-->Qx,y. La proposition est vraie. En prenant par exemple on aura bien : Px,y-->Qx,y. (remarque : la question est exactement la même que la question 6). Il doit y avoir une erreur d'énoncé...) La proposition est fausse. En effet, pour n'importe quel x choisi, on aura par exemple, en prenant mais pas Q(x,y). [...]

[...] On a bien une fonction. f : L'image du domaine est 0;99. La fonction n'est pas injective car f199=f(299) par exemple. Elle n'est pas surjective non plus car 120 n'a pas d'antécédent par f par exemple. Ainsi elle n'est ni bijective ni inversible. On a bien une fonction. f : L'image du domaine est N a fonction n'est pas injective car f22=f(220) par exemple. Elle est surjective. En effet, soit n∈N. Si n est pair f222....2=n en prenant comme antécédent un nombre de n2 chiffres. [...]

[...] On a bien une fonction. f : L'image du domaine est 0;4,3. f est injective si et seulement si aucun étudiant n'a la même moyenne, ce qu'on ignore. f n'est pas surjective car R a une infinité d'éléments alors que l'ensemble E est fini. Ainsi f n'est ni bijective ni inversible. Ici nous n'avons pas affaire à une fonction car pour un x donné, il existe une infinité de multiples. On a : 10log10y+1=explog10y+1ln10 10log10y+1=explnyln10+1ln10 10log10y+1=explny+ln10ln10ln10 10log10y+1=exp(lny+ln10) 10log10y+1=10y Ainsi : x+y10log10y+1=x+110 On a donc une fonction f:NxN-->R. [...]

[...] Puisque A et B ne sont pas tous les deux vides, il existe un élément x qui appartient à l'un des ensembles A ou B mais pas à l'autre. On a alors : x∈A∪B mais x∉A∩B. Ainsi : x∈(A∪B?A∩B=A?B. Donc A?B n'est pas vide. On a donc bien : ce qui est équivalent à Finalement 2[nd] cas : on suppose que Alors on a A=B et donc l'équivalence est encore vraie. Si l'un des ensemble est vide, les équivalences sont immédiates. Supposons donc que les ensembles A et B soient non vides : Montrons : A⊆B?A∩B=A : On a toujours A∩B⊂A. Supposons maintenant A⊆B. [...]

[...] On a donc x∈A ou . Si comme on a aussi x∈B. Ainsi, dans tous les cas x∈B. D'où A∪B⊂B. Ainsi : A⊆B?A∪B=B. Supposons A∪B=B. Soit x∈A. Alors x∈A∪B donc x∈B puisque A∪B=B. Ainsi A∪B=B?A⊆B On a démontré : A⊆B?A∪B=B. On a finalement : A∩B=A ?A⊆B?A∪B=B. Les trois propositions sont logiquement équivalentes. On a A⊆A∪B. Ainsi, en utilisant ce qui précède, on obtient : A∩A∪B=A. On a A∩B⊆A. Ainsi, en utilisant ce qui précède, on obtient : A∩B∪A=A. [...]