Limites et continuité - Problème

Thèmes abordés

Mathématiques, limites, continuité, problème

Résumé du document

Le document comprend la résolution d'un problème de mathématiques dans le cadre des limites et de la continuité.

Extraits

[...] Limites et continuité - Problème Partie A En prenantx,y=0,0, on obtient f0=f(0)xf(0), ce qui équivaut à f0=0 ou f0=1 En prenant on obtient f0=f(x)xf(-x) ce qui équivaut à f0=0 Il n'y a donc que deux valeurs possibles pour f0: f0=0f0=1 En prenant fx=0 ; ∀xϵR ;fx+0=fx=fxxf0=0 On suppose ∃ β∈R tel que fβ=0 ∀xϵR ;fβ-β=f0=fβxf-β=0xf-β=0 On en déduit f0=0 En écrivant fx=fx-β+β=fxxfβ-β=fxxf0=0 Or f0=0 ;on montre ainsi que si la fonction s'annule en β alors, elle est soit identiquement nulle soit elle ne s'annule jamais. [...]

[...] Partie B ∀xϵR ;f2x=fx+x=fxxfx= f(x)2 ∀xϵR ;f3x=fx+2x=fxxf2x= fxxfx2= f(x)3 Montrons par récurrence la propriété Pn : fnx=f(x)n ∀n∈N* Initialisation Vérifions que est vraie f1xx=fx= f(x)1 donc est vraie Hérédité Soit n∈N* Supposons la propriété vraie au rang n et montrons alors que la propriété est vraie au rang n+1 fn+1x=fnx+x=fnxxfx=f(x)nxfx= f(x)n+1 Donc est vraie et il y a donc hérédité Conclusion Par récurrence, la propriété est vraie pour tout On a donc montré que ∀n ϵ ;fnx=f(x)n ∀p∈N* et ∀q∈N* fqpqx=fpx=f(x)p fqpqx= fpx= f(pxq)q On en déduit l'égalité f(x)p = f(pxq)q En élevant chaque terme de cette égalité à la puissance 1q On obtient l'égalité recherchée ∀p∈N* et ∀q∈N* ; fpqx=f(x)pq Par définition f1=a Pour x=1 ;fpqx=fpqx1=fpq= f(1)pq= apq On en déduit fpq= apq Par définition ∀ r ϵ ar Notons r=pq rationnel strictement positif D'après la relation trouvée en On a fr-r=f0=frxf-r=arxa-r= a0 La formule reste donc valable pour r = 0 On en déduit ∀ r ϵ Q ar Pour tout r ∈ , fr=ar et donc f0=a0=1 f-r+r=f0= f-rxfr=f-rxar ⇒f-r=1ar = a-r La relation est donc vraie pour les rationnels négatifs Par suite, ∀ r ∈ Q , fr=ar On étend ensuite l'égalité fr=ar à R grâce à la continuité de f sur R et la densité de Q dans R (impliquant donc que tout réel s'écrive comme limite d'une suite de rationnels). [...]