Introduction à la logique des propositions

Thèmes abordés

Logique des propositions, tables de vérité, valeur de vérité, équivalences, méthode des arbres, tautologité, mathématiques

Résumé du document

Le document est un exercice corrigé sur la logique et l'analyse du langage.
Il s'agit de traduire dans le langage des propositions certains arguments et d'utiliser la méthode des tables de vérité, la méthode des équivalences ainsi que la méthode des arbres.

Extraits

[...] Etude de la valeur de vérité d'arguments par la méthode des équivalences  B )  B  B )  B formule initiale (A  B)  B transformation de la (A  B)  B règle de De Morgans pour (A   B élimination de la double négation A   B) associativité de B  B règle de simplification pour La proposition « B  B » est une tautologie ; d'après la méthode des équivalences, «  B )  B » équivaut à « B  B » ; donc «  B )  B » est une proposition tautologique, ce qui veut dire qu'elle est toujours vraie (qu'importe la valeur de vérité de ses composantes A et    B)    B) formule initiale  (A   B)) transformation de la A    B) règle de De Morgans pour  A    B) élimination de la double négation A  (B  règle de De Morgans pour B  B règle de simplification pour La proposition « B  B » est une contradiction ; d'après la méthode des équivalences, «    B) » équivaut à « B  B » ; donc «    B) » est une proposition contradictoire, ce qui veut dire qu'elle est toujours fausse (qu'importe la valeur de vérité de ses composantes A et ((B  A)   A ((B  A)   A formule initiale  B)   A))  A règle de distributivité  B)  A règle de simplification (A   (A  B) règle de distributivité A  B règle de simplification La proposition « ((B  A)   A » est équivalente à la proposition « A  B » ; cette dernière proposition est vraie si et seulement si les propositions élémentaires A et B sont simultanément fausses ; donc la proposition « ((B  A)   A » est vraie dans les mêmes conditions, et fausse pour toutes les autres configurations des valeurs de vérité de A et B  B)    A)  B)    A) formule initiale (B  B)    A) transformation B    A) idempotence B   (A  A) transformation B   (A) idempotence B  A élimination de la double négation La proposition «  B)    A) » est équivalente à la proposition « B  A» ; cette dernière proposition est vraie lorsque A est vraie ou (« ou » inclusif) lorsque B est faux ; donc la proposition «  B)    A) » est vraie dans les mêmes conditions (et fausse lorsque A est fausse et B est vraie). Détermination de la « tautologité » de quatre propositions par la méthode des arbres : 1. [...]

[...] Elle est fausse lorsqu'une proposition de l'arbre est vraie, c'est-à-dire, par exemple, lorsque les propositions A et B sont toutes les deux vraies  B)    La négation de la proposition 2 ne présente aucune branche fermée, elles sont même toutes ouvertes (et exhaustives) : elle est vraie dans tous les cas. Par conséquent, la proposition 2 n'est pas une tautologie, c'est au contraire une contradiction : elle est fausse dans tous les cas  A )  A)  B La négation de la proposition 3 possède une branche fermée et une branche ouverte. [...]

[...]    A La négation de la proposition 1 ne présente aucune branche fermée. Par conséquent, la proposition 1 n'est pas une tautologie. [...]

[...] Argument 1 : D S J D  S D  S D   J) S  D V V V V V V F V F F V V V F V V F V V F V V V F V F F V F V V V V F V F V V F F F F V F V V V F F F F V F F V F F F F V F V F V V F F F F V V F V V V F F V V V V F V V V F V F F V V V F F V V F V V V V V F F V F V F V V V V V V V F F V V F F F F V F V V V V V F V V F V V Lorsque toutes les prémisses de l'argument sont ensemble vraies, la conclusion l'est aussi, donc l'argument 1 est valide. [...]

[...] Par conséquent, la proposition 3 n'est pas une tautologie, puisqu'elle est fausse lorsque sa négation est vraie, à savoir lorsque les propositions A et B sont toutes les deux vraies      La négation de la proposition 4 possède une branche fermée et une branche ouverte. Par conséquent, la proposition 4 n'est pas une tautologie, puisqu'elle est fausse lorsque sa négation est vraie, à savoir lorsque la proposition A est vraie. [...]