Intersection d'une parabole et d'une hyperbole

Thèmes abordés

Fonction, parabole, hyperbole, algèbre, inéquation, équation, tableau de variations, tableau de signes

Résumé du document

Ce document est un exercice corrigé de niveau seconde avec pour énoncé : résoudre algébriquement et graphiquement l'inéquation x^2-4x+3?(x-3)/(x-1).

Extraits

[...] Intersection avec l'axe des ordonnées : f0=3. Intersection avec l'axe des abscisses : (x-2)2-1=0⟺x-2=1 ou x-2=-1⟺x=3 ou x=1 Tableau de valeurs : x - - On a : x-3x-1= x-1-2x-1=1-2x-1 g est définie pour tout x excepté pour x=1 Pour x et y strictement supérieurs à on a : y>=x⟹y-1>=x-1>=0⟹2x-1>=2y-1>=0⟹1-2y-1>=1-2x-1⟹g(y)>=g(x) g est croissante. Pour x et y strictement inférieurs à on a : y>=x⟹0>=y-1>=x-1⟹0>=2x-1>=2y-1⟹1-2y-1>=1-2x-1⟹g(y)>=g(x) g est croissante Tableau de variations : x -infinity 1 +infinity g g n'a ni minimum ni maximum. [...]

[...] Intersection d'une parabole et d'une hyperbole Soient les fonctions f et g qui à tout réel x font correspondre x2-4x+3et x-3x-1. Le but de ce problème est de résoudre algébriquement puis graphiquement l'inéquation g(x). Algébriquement Essayons de résoudre l'inéquation : x2-4x+3>=x-3x-1 ⟺x2-4x+3-x-3x-1>=0 ⟺x-1x2-4x+3-x-3x-1>=0 ⟺x3-4x2+3x-x2+4x-3-x-3x-1>=0 ⟺x3-5x2++6x-6x-1>=0 Pour pouvoir faire le tableau de signes, il faudrait pouvoir factoriser l'expression du troisième degré, ce que l'on ne sait pas faire en seconde. On a : (x-2)2-1=x2-2x2xx+22-1=x2-4x+3=f(x) On obtient : On a alors : fx>=gx ⟺(x-3)(x-1)2x-1>=x-3x-1 ⟺x-3x-12-(x-3)x-1>=0 ⟺x-3[x-12-1]x-1>=0 ⟺x-3(x2-2x)x-1>=0 ⟺xx-3(x-2)x-1>=0 Tableau de signes : x -infinity +infinity x - + + + + x-1 + + + x-2 + + x-3 + xx-3(x-2)x-1 + - + - + Les solutions de l'inéquation sont donc ]-infinity;0]∪[1;2]∪[3;+infinity[ Graphiquement On a déjà vu que fx=(x-2)2-1. [...]