Intégration numérique - Régularisation

Thèmes abordés

Régularisation mathématique, valeur de l'intégrale, méthode des rectangles à gauche, méthode des rectangles du point milieu, sous-intervalle, graphe de l'erreur, échelle logarithmique, polynôme

Résumé du document

Il s'agit d'un compte rendu corrigé de travaux pratiques vu en Licence Mention Mathématiques. Ces exercices s'inscrivent dans le cadre du cours "Méthodes numériques : interpolation et quadrature".

Extraits

[...] Intégration numérique - Régularisation #Question 1 Avec une intégration par parties, on trouve une primitive de ln(x) entre 0 et 1 qui vaut - I vaut donc - #Question 2 Ici on ne peut pas appliquer la méthode des rectangles à gauche pour calculer I car la fonction ln n'est pas définie en 0. Elle ne prend pas de valeur sur le bord gauche de l'intervalle c'est-à-dire 0. Il faut donc appliquer une autre méthode pour calculer I #Question 3 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def return np.log(x) def midpoint_rule(n): h = 1 / n integral = 0 for i in range(n): x_mid = * i + / * integral f(x_mid) integral h return integral # Calcul de l'intégrale exacte pour la comparaison exact_integral = -1.0 n_values = [ 512] errors = hs = for n in n_values: integral = midpoint_rule(n) error = np.abs(integral - exact_integral) errors.append(error) hs.append(1 / plt.figure(figsize=(8, plt.loglog(hs, errors, marker='o', linestyle='-', color='b') plt.title('Erreur en fonction de h plt.xlabel('h') plt.ylabel('Erreur') plt.grid(True) plt.show() #On remarque que l'erreur obtenue est une fonction linéaire de h. [...]

[...] Tout d'abord, déterminons le polynôme de degré 4 qui vérifie les conditions données. Les conditions sont : P′(0)=P′′(0)=P′′′(0)=0 Un polynôme de degré 4 peut être exprimé sous la forme générale : P(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e En utilisant les conditions données, nous pouvons établir un système d'équations : P′(x)=4ax3+3bx2+2cx+d donc P′(0)=d=0 P′′(x)=12ax2+6bx+2c donc P′′(0)=2c=0 P′′′(x)=24ax+6b donc P′′′(0)=6b=0 À partir de ces équations, on trouve que d=0 et e=0. De plus, a+b+c+d=1 devient a=1. Ainsi, le polynôme recherché est P(x)=x4 b. [...]

[...] Puisque existent et sont continues sur l'intervalle g est de classe C2 sur cet intervalle. on applique la méthode des rectangles du point milieu comme précédemment mais avec une fonction f différente pour approximer I : import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def return 16 * np.log(x) * def midpoint_rule(n): h = 1 / n integral = 0 for i in range(n): x_mid = * i + / * integral f(x_mid) integral h return integral # Calcul de l'intégrale exacte pour la comparaison exact_integral = n_values = [ 512] errors = hs = for n in n_values: integral = midpoint_rule(n) error = np.abs(integral - exact_integral) errors.append(error) hs.append(1 / # Tracé du graphique de l'erreur en fonction de h plt.figure(figsize=(8, plt.loglog(hs, errors, marker='o', linestyle='-', color='b') plt.title('Erreur en fonction de h plt.xlabel('h') plt.ylabel('Erreur') plt.grid(True) plt.show() #L'ordre de convergence est égal à 1 puisque la pente de la fonction erreur vaut 1 # On constante que l'erreur est beaucoup plus faible pour les valeurs de h faibles comparées aux valeurs qu'on avait obtenu avec la fonction ln. [...]

[...] Maintenant, montrons que I=∫01(g(x))dx=∫01(ln⁡(P(x))⋅P′(x))dx ∫01(g(x))dx=16*∫01(ln(x)*x3)dx Après intégration par parties, en dérivant ln(x) et en primitivant x3, on obtient ∫01(g(x))dx=-4*∫01(x3)dx=-1 Donc ∫01(g(x))dx=I c. Pour démontrer que g est de classe C2 sur il faut montrer que g′(x) et g′′(x) existent et sont continues sur cet intervalle. g(x)=16*ln⁡(x)*x3 est continue sur car : g est continue sur et peut être prolongé par continuité en 0 car g admet une limite finie lorsque x tend vers 0. En effet, lim(ln(x)*x3) lorsque x tend vers 0 est égal à 0 donc g est continue en 0. [...]