Intégrale de Riemann

Thèmes abordés

Intégrale de Riemann, intervalle, fonction, équation, primitive, variable

Résumé du document

Ce document comporte cinq exercices corrigés de mathématiques sur l'intégrale de Riemann.

Extraits

[...] Donc l'intégrale de existe sur n'importe quel intervalle,- avec . Étude quand tend vers 0 par valeurs positives : Quand on a Donc ( Ou encore : ( On peut donc écrire : Or chaque terme du membre de droite de l'inéquation tend vers 0 quand tend vers 0. Et comme , d'après la règle de Riemann, chaque terme est donc intégrable sur Ainsi est intégrable sur et donc aussi, quelle que soit la valeur de . Étude quand tend vers : On a donc Premier cas : On a alors : Et comme , chaque terme du membre de droite tend vers 0 quans tend vers . [...]

[...] Ainsi tend vers 0 quand tend vers EXERCICE 5 Comme est de classe sur on peut écrire le développement de Taylor avec reste de Lagrange pour la fonction : Posons : Où est choisi tel que . Il est clair qu'on a aussi . Et comme est dérivable sur ,D'après le théorème de Rolle, il existe , tel que . [...]

[...] Ainsi, est une fonction continue sur On a : et Puisque est continue sur et que , d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un nombre r de tel que . Or Ainsi On a démontré au que si alors tout nombre tel que appartient également à . Comme est à valeurs dans on peut en déduire que est un intervalle de R. Ainsi l'image par d'une partie convexe est un intervalle de R. REMARQUE (à mettre dans la copie) : Il n'est pas précisé dans la question que f est une fonction continue. Mais sans cette hypothèse, R n'est pas continue. [...]

[...] On obtient : Or f est de carré intégrable sur donc il existe réel positif tel que Notons On obtient : Si et on obtient de la même façon que ci-dessus : Finalement : - Limite en 0 : L'inégalité du nous donne : Donc : On a Comme est de carré intégrable sur , tend vers donc tend vers 0 quand tend vers 0. Ainsi tend vers 0 quand tend vers 0. - Limite en Pour tout positif, on a : De la même manière que ci-dessus, puisque est de carré intégrable, pour tout , il est possible de choisir assez grand tel que Or l'inégalité de la première partie donne, en prenant : Donc : Et donc il existe tel que De plus . tend vers 0 quand tend vers l'infini. [...]

[...] Or, d'après la forme de départ de , on a pour tout . Le trinôme ne changeant pas de signe, son discriminant doit être inférieur ou égale à 0. On a donc : Et donc : Et comme les deux membres de l'inégalité sont positifs : Supposons maintenant qu'il existe tel que : Alors le discriminant calculé plus haut est nul, c'est-à-dire qu'il existe un nombre réel tel que . Et comme est l'intégrale d'une fonction continue sur , on peut en déduire que cette fonction est nulle sur , Ainsi il existe tel que pour tout de - Et donc : pour tout de - On en conclut que les fonctions et sont liées. [...]