Géométrie - Repères et coordonnées d'un point

Thèmes abordés

Coordonées, plan, symétrie, intersection des plans, segment, milieu de segment, vecteur, vecteur directeur, représentation paramétrique, droite, triangle, rectangle

Résumé du document

Le document comprend quatre exercices sur le calcul de coordonnées des points du plan.

Extraits

[...] Alors , on déduit que les vecteurs u , v et w ne sont pas coplanaires, ce qui montre que A,u,v,w est un repère de l'espace. Partie II 1. La représentation paramétrique de la droite D est : -2t y=1+t , t∊Rz=-1+t 2. [...]

[...] D'abord le coordonnées du vecteur IK sont IK23-1201, c'est-à-dire IK donc l'équation paramétrique de la droite IK est : x=12+16 t t∊Rz=t , puis comme les deux droites IKet JL sont sécantes , alors cela implique que : 12+16 t=1 0=12+t'a-12 t alors t=3 12+t'a-12=0 Ce qui implique : 12-2a-12= ce qui veut dire que : a=14+12=34 Partie III 1. Comme les deux vecteurs IK et IJ ne sont pas colinierare, alors pour montrer que le vecteur n6-4-1 est normal au plan IJK , il suffit de montrer que n.IK=0 et n.IJ= en effet : n.IK=6-4-1.1601=1-1=0 n.IJ=6-4-1.12121=3-2-1=0 Finalement, on conclut que le vecteur n6-4-1 est un vecteur normal au plan IJK 2. [...]

[...] Puis comme I∊IJK I∊ABC alors I∊IJK∩ABC, ce qui montre que l'intersection des plans IJK et ABC est une droite D qui passe par I. Puis comme , en particulier , D⊂IJKJK⊄ABC alors D∩JK=∅ , ce qui veut que la droite D est parallèle à la droite JK. Finalement , on a montré que l'intersection des plans IJK et ABC est la parallèle à JK passant par I Voir la figure ( question 4. [...]

[...] D'abord la droite est perpendiculaire à la droite ( car H le pied de la hauteur issue de O de OIC) Puis comme ( OH) est perpendiculaire à , alors on déduit que la droite est perpendiculaire aux deux droites ( CI) et sécante en I et appartenant au plan ( ABC) Donc , on conclut que la droite est orthogonale au plan (ABC) 5. On considère la surface S de la base ( AOB) et la hauteur alors le volume V du tétraèdre OABC: V=13xSxOC=13x12= On va calculer le volume V du tétraèdre OABC, avec une autre façon : On considère la surface de base (ABC) (Surface du triangle ABC) et la hauteur issue de O ( car on a montré est orthogonale au plan , Alors : V=13xS(ABC)xOH Puis : SABC=2x322=32 alors : V=36 xOH , puis on a montré en question 5 que V=16 Donc, on déduit que : 36 xOH=16 Finalement, on conclut que : OH=13 Exercice le triangle ABD est triangle équilatérale , alors ABD=PI donc : AB.BM=-BA.BM=-axcosPI3=-ax2 le triangle CBD est triangle équilatérale , alors CBD=PI donc : BN.BM=yxcosPI3=xy Comme dans le triangle ABM, on a MA2=BA2+BM2-2BA.BM et puis d'après la question 1-a : BA.BM=ax2 Alors on déduit que : MA2=a2+x2-ax Comme dans le triangle ABN, on a NA2=BA2+BN2-2BA.BN et puis : BA.BN=aycosPI3=ay2 Alors on déduit que : NA2=a2+y2-ay Comme dans le triangle NBM, on a MN2=BM2+BN2-2BN.BM et puis d'après la question 1-b : BA.BM=xy2 Alors on déduit que : MN2=x2+y2-xy 3. [...]

[...] Comme ABC est un triangle équilatéral et I est le pied hauteur issue de C de ABC , alors I est le milieu du segment et ( AB) est perpendiculaire à ( CI). D'autre part le tringle AOB est un tringla rectangle et isocèle en O et comme I et le milieu du segment , alors ceci implique que la droite et perpendiculaire à la droite ( OI) Alors , la droite est perpendiculaire aux deux droites ( CI) et sécante en I et appartenant au plan ( COI) Donc , on conclut que la droite est orthogonale au plan (COI) 3. [...]