Géométrie - Propriété du centre de gravité d'un triangle

Thèmes abordés

Géométrie, triangle, centre de gravité, symétrie, exercices, vecteurs, segments, démonstration

Résumé du document

Le document est un ensemble d'exercices dont le but est de démontrer une propriété fondamentale du centre de gravité d'un triangle.

Extraits

[...] Comme nous avons S1-5) Nous savons que et or un quadrilatère ayant ses côtés opposés parallèles entre eux est un parallélogramme. est donc un parallélogramme. S1-6) est un parallélogramme, donc GC= or nous avons alors nous pouvons donc conclure que GA''=GB+GC S1-7) Nous avons GA''=GB+GC et GA+GA''=0 donc GA+GB+GC=0 Sens 2 : S2-1) Nous avons : GA+GB+GC=0 GA+GB+GC=0 GB+GC=AG GA+GB+GC=0 GA+AB+GA+AC=AG GA+GB+GC=0 AB+AC=3AG GA+GB+GC=0 1/3(AB+AC)=AG Dans le triangle ABC, est le milieu de [BC]. Nous avons démontré au préambule que : AB+AC=2AA' Donc : 1/2(AB+AC)=AA' 23AA'=26(AB+AC) 23AA'=13(AB+AC) Ainsi, les vecteurs sont colinéaires. [...]

[...] Donc G appartient à la droite On peut donc en déduire que G se trouve à 2/3 AA' du sommet A et de 1/3 AA' du sommet S2-2) D'après le préambule, nous avons : BA+BC=2BB' et en raisonnant de façon analogue à la question précédente, nous obtenons : 1/3(BA+BC)=BG Donc : 1/2(BA+BC)=BB' 23BB'=26(BA+AB) 23BB'=13(BA+BC) Ainsi les vecteurs sont colinéaires, donc les points et G sont alignés, et donc le point G appartient à la droite S2-3) D'après le préambule, nous avons : CA+CB=2CC' et en raisonnant de façon analogue à la question précédente, nous obtenons : 1/3(CA+CB)=CG Donc : 1/2(CA+CB)=CC' 23CC'=26(CB+CA) 23CC'=13(CB+CA) Ainsi les vecteurs sont colinéaires, donc les points et G sont alignés, et donc le point G appartient à la droite S3) Concluons : ce point G appartient aux médianes. Il est donc le point de gravité de ce triangle. De même, la première partie nous permet d'affirmer que G est le centre de gravité du triangle ABC. CQFD : Ce qu'il fallait démontrer. [...]

[...] Nous avons donc AC= alors AB+AC=AB+BA'=AA' est le symétrique de A par rapport à donc AM=MA' Ce qui équivaut à : 2AM=AM+MA'=AA' Nous avons donc : 2AM=AB+AC Sens 1 : S1-1) S1-2) Nous pouvons affirmer que GA+GA''=0 car est le symétrique de G par rapport à A. Les points G et sont donc alignés et les distances AG et sont donc égales. S1-3) Dans le triangle est le milieu de et comme G est le milieu de Alors, d'après le théorème des milieux, nous avons est le milieu de et la droite est une médiane du triangle ABC. Elle passe donc par le point C. [...]