Géométrie dans l'espace - Exercice corrigé niveau bac

Thèmes abordés

Géométrie, classe de Terminale, baccalauréat de Mathématiques, exercice corrigé, géométrie dans l'espace, point d'intersection, intersection d'un plan, vecteur, droites parallèles, plans parallèles, équation cartésienne, vecteur directeur

Résumé du document

Ce document propose un exercice corrigé de géométrie dans l'espace qui s'adresse à des élèves de Terminale pour préparer le baccalauréat.

Extraits

[...] Calculer ses coordonnées. N∈(IJK)∩(CG) donc ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne de (IJK) et la représentation paramétrique de (CG). Ainsi, 4x-6y-4z+3=0x=1y=1z=t ⟺4-6-4t+3=0x=1y=1z=t ⟺-4t=-1x=1y=1z=t ⟺t=14x=1y=1z=14 Conclusion, N(1;1;14) est l'intersection de (IJK) et de (CG). On appelle la droite paramétrée comme suit : x=2t'y=2t'+1z=-t'+1 (t'∈R) Etudier la position relative de par rapport à (IJK). Soit la droite dont un vecteur directeur est v22-1. Soit le plan (IJK) dont une équation cartésienne est 4x-6y-4z+3=0 avec n4-6-4 normal à (IJK). Vérifions si v et n sont orthogonaux ou non : v⋅n=2x4+2x-6+-1x-4=8-12+4=0 Donc v et n sont bien orthogonaux. [...]

[...] Géométrie dans l'espace - Exercice corrigé niveau bac Exercice : géométrie dans l'espace Soit le cube ABCDEFGH représenté ci-contre. Les points J et K suivent les conditions ci-après : I est le milieu du segment ; AJ=34AE ; K est le milieu du segment [FG]. Partie A : Construire le point d'intersection P du plan (IJK) et de la droite en laissant les traits de construction apparents sur la figure. En prenant soin de bien justifier, déduire du résultat de la question précédente l'intersection du plan (IJK) et du plan (EFG). [...]

[...] ⟺0=k-12=0k34=k ⟺k=00=-12k=34 Nous arrivons à une contradiction donc un tel réel k n'existe pas d'où IJ et IK ne sont pas colinéaires. Ainsi, puisque n4-6-4 est orthogonal à ces deux vecteurs non colinéaires du plan n est normal à (IJK). A présent, soit M(x;y;z)∈(IJK)⟺IMxy-12z et n4-6-4 sont orthogonaux ⟺IM⋅n=0 ⟺xx4+y-12x-6+zx-4=0 ⟺4x-6y+3-4z=0 Finalement, une équation cartésienne de (IJK) est 4x-6y-4z+3=0. Donner une représentation paramétrique de la droite (CG). Soit CG001 un vecteur directeur de (CG). Soit M(x;y;z)∈(CG)⟺CMx-1y-1z et CG001 sont colinéaires. [...]