Géométrie, équation cartésienne et algorithme

Thèmes abordés

Géométrie, équation cartésienne, algorithme, affixe, point invariant, vecteur, second degré, imaginaire pur

Résumé du document

Ce document propose deux exercices corrigés de mathématiques qui s'adressent à des élèves de niveau Terminale. Il s'agit d'un support d'entrainement idéal pour se préparer aux épreuves du baccalauréat.

Extraits

[...] M ' est z '  Figure de l'exercice 1 : Equation du second degré Exercice 2 : 1. z2  2z 3  4  Equation ( E ) :   2 On calcule le discriminant   b2  4ac    4  1  4  12  16  4  0 Donc il y a deux solutions complexes conjuguées : z1  b  i  2a       i 1  i 2  2 Solution   3i ; 3 i 3i z2  z1  et 3 i  2. [...]

[...] Cette droite c ' est la droite OA . Conclusion : M '  OA    z  z  1  i  0  1  i 3. L'affixe du vecteur OB est ZOB B O Soit M un point du plan d'affixe z  x  yi tel que M distinct de M ' . [...]

[...] Géométrie, équation cartésienne et algorithme Correction du DM3 Exercice 1 : 1. Le point M d'affixe z est transformé en point M ' d'affixe z ' vérifiant l'égalité : z '  1 z  i z  2 On cherche l'ensemble des points invariants par cette transformation ( C'est à dire M = et donc z  z ' ) : M  M '  z  z ' mais z '  1 z  i z  z  i z   2z  z  i z  2z  z  i z  z  i z 2 On pose z  x  y i , alors z  x  y i z Donc L ' équation z  i z  x  y i  i  x  y i   x  y i  i x  y i²  x  y i  i x  y 1 x  y  0   x  y  i  y  x  0    y  x c ' est la droite  passant par O et A y  x  0 L'ensemble des points M du plan d'affixe z vérifiant z  z ' est donc la droite ( OA ) On l'appelle ensemble des points invariants par cette transformation. [...]

[...] Donc y différent de x puisque M OA z  i z  2 On rappelle que z '  x  y  x  y i 2 2     abscisse de M ' donc Le vecteur ordonnée de M '    z ' z  MM ' a pour affixe Z   x  y    x  y  i   x  y i    x  y   x   x  y  i  yi MM ' 2x 1 2y   x  y    x  y i  i   x  y  2x    x  y  2 y i  .    x  y    x  y  i   x  y  1  i    x  y  ZOB   Les vecteurs MM ' et OB sont colinéaires. Les droites  MM '  et OB  sont donc parallèles . [...]

[...] Ecrivons   z0  2   i On rappelle que   3 i 6  zn 1   2  2  zn  e zn    donc pour tout entier naturel n , on a : n n  i   i   n   n    n   n  zn  z0  e 6   2 e 6  2  cos     i sin      2cos     i  2sin       6     6  6    6      Re zn  Im zn  zn est imaginaire pur si et seulement si :  n Re  zn   0  2cos    6  n    0  n 1  k 6 2   n    modulo  n    k  6k  n  6k  en simplifiant par  Conclusion : Pour tout entier k , on a z6k 3 qui est imaginaire pur . [...]