Fonctions usuelles et variations

Thèmes abordés

Fonctions usuelles, variations, fonction logarithme népérien, logarithmes

Résumé du document

Ce document contient 2 exercices corrigés de niveau licence sur les fonctions, les variations et leurs représentations graphiques.

Extraits

[...] Fonctions usuelles et variations Problème n°1 φ est dérivable sur ]0;+infinity[ et on a : φ'x=e1-x-xe1-x=e1-x(1-x) Or e1-x>0 pour tout x. On obtient donc le tableau de variations suivant : x +infinity φ'x + - D'après le tableau de variations, on peut affirmer que pour tout x>0. Or on a : φ1=1xe0=1 Ainsi φ(x)≤1 pour tout x>0 De plus, toujours d'après le tableau de variations, on a l'égalité si et seulement si x=1. Quand x tend vers e1-x tend vers e par continuité de la fonction exponentielle. [...]

[...] On obtient ainsi le tableau de variations suivant : x 0 +infinity + dx=fx-lnx=e1-x Ainsi, on a dx>0 sur ]0;+infinity[ On en déduit que la courbe C sera toujours au-dessus de la courbe Γ sur ]0;+infinity[. Quand x tend vers +infinity, 1-x tend vers -infinity et donc tend vers 0. Courbes : Problème n°2 Tracé de la courbe : On a : Pour -2≤x-1≤0, c'est-à-dire pour -1≤x≤1 : gx=2+x-1=x+1 Pour 0≤x-1≤2, c'est-à-dire pour 1≤x≤3 : gx=-3x-12+2=-3x2+72 Pour 2≤x-1≤4, c'est-à-dire pour 3≤x≤5 : gx=-1 On obtient les courbes : C1 est la transformée de C par la translation de vecteur i. [...]