Fonctions et suites

Thèmes abordés

Fonctions, limites, tableau de variations, théorème de comparaison des limites, valeurs, algorithme, intervalle, suite arithmétique, équations, suite géométrique

Résumé du document

Le document comprend quatre exercices sur la notion de fonction, les représentations et les résolutions graphiques d'équations.

Extraits

[...] Donc, pour tout x de R , f'x=1-2x alors la dérivée de f s'annule en avec f12= alors on déduit le tableau de variation de f : Déterminons le sens de variations de la suite un Pour tout n de N : un+1-un=fun-un=un-un2-un=-un2 Et puis, comme pour tout n de ℕ : -un 2≤ alors on déduit que pour tout n de ℕ , un+1≤un Alors, on conclut que la suite un est décroissante Cas u0=-2 Montrons par récurrence que pour tout n de ℕ , un≤-22n Pour on a u0=-2 et alors on a bien u0≤-220 Supposons que un≤-22n et montrons que un+1≤-22n+1 Comme pour tout n de N , -22n+infinity22n=+infinity alors ce qui implique limn-->+infinity-22n=-infinity Et comme pour tout n de N , un≤-22n , en utilisant le théorème de comparaison des limites, on déduit que : limn-->+infinityun=-infinity D'après la question 3-a , pour tout n de N , un≤-22n , alors pour trouver un rang n1 tel que pour tout n1>=n un≤- alors il suffit de trouver un rang n1 tel que pour tout n1>=n , -22n≤-1010. [...]

[...] Fonctions et suites Exercice 1 Partie A - Restitution organisée de connaissance Montrons que limn-->+infinity2n=+infinity D'après l'inégalité de Bernoulli : pour tout x>0 et tout n de N , 1+xn>=1+nx Alors, en prenant on a pour tout n de 1+1n>=1+n Ce qui implique que : pour tout n de N , 2n>=1+n Puis comme limn-->+infinity1+n =+infinity , alors en utilisant le théorème de comparaison des limites, on déduit que : limn-->+infinity2n=+infinity D'après ce qui précède , on a déjà montré que : pour tout n de N , 2n>=1+n Ce qui implique que : pour tout n de N , 22n>=2n+1 et puis comme, pour tout n de N , 2n+1>2n Alors , on déduit que : pour tout n de N , 22n>=2n Et d'après le question limn-->+infinity2n=+infinity , alors en utilisant le théorème de comparaison des limites, on déduit que : limn-->+infinity22n=+infinity Partie B La fonction f est un trinôme dérivable sur R et dont les racines sont 0 et 1. [...]

[...] Alors -22n≤-1010 est équivalent à 2nln⁡(2)>=10ln⁡(10) Donc on déduit que : n>=ln10ln10ln2ln2 ≈5,05 Finalement, on déduit que le rang n1 est : n1=6 Voici l'algorithme permettant de déterminer n2 N 0 u Tant que u>-1010 N N+1 u u-u2 Fin du Tant que Après avoir implémenté cet algorithme dans la calculatrice, la valeur de n2 obtenue est : 5 Cas u0=0,5 Montrons par récurrence que pour tout n de ℕ , 0≤un≤0,5 Pour n=0 on a bien : 0≤u0≤0,5 Supposons que : 0≤un≤0,5 et montrons que 0≤un+1≤0,5 D'après le tableau de variations de la fonction f de la question la fonction f est croissante sur l'intervalle 0;0,5 Et comme 0≤un≤0,5 (hypothèse de récurrence), on déduit que : f0≤fun≤f0,5 Ce qui implique que : 0≤un+1≤0,5 Finalement, on a montré par récurrence que : pour tout n de N , 0≤un≤0,5 D'après la question 2 de la partie la suite un est décroissante et d'après la question précédente cette suite un est minorée par alors d'après le théorème de la convergence monotone , on déduit que la suite un converge Montrons que pour tout n de , un≤1n D'abord pour u1≤0,5+infinity1n= alors en utilisant le théorème des gendarmes on déduit que : limn-->+infinityun=0 Exercice 2 Pour α= on a pour tout un+1=n+1 alors on déduit que pour tout un=n Alors on déduit que pour tout un+1=un+1 Ce qui montre pour tout la suite un est une suite arithmétique dont la raison est 1 On a déjà montré que pour tout un=n et comme limn-->+infinityn=+infinity alors on déduit que limn-->+infinityun=+infinity ce qui montre que la suite un ne converge pas Cas α=1 Représentation graphique des 10 premiers termes Le tableau suivant donne les valeurs des 10 premiers termes : n un Alors voici la représentation graphique des 10 premiers termes : D'après la question précédente, l'allure du graphique est similaire (coïncide ) à une partie d'une courbe parabole , et comme la courbe parabole est la courbe associée à une fonction trinôme du second degré dont la forme est : fx=ax2+bx+c, avec a,b et c sont des réels , alors dans ce cas on peut conjecturer que : pour tout un=fn=an2+bn+c En utilisant les valeurs des trois premiers termes de la suite un , on a le système d'équations suivant : u0=c u1=a+b+c u2=4a+2b+c Ce qui implique : c a+b=2 4a+2b=5 Finalement on conclut que : a=12 b=32 c=1 Montrons maintenant par récurrence que : pour tout un=12 n2+32n+1 Pour 02+32.0+1=1=u0 Supposons que un=12 n2+32n+1 et montrons que : un+1=12 n+12+32n+1+1 Comme un+1=un+n+1 et un=12 n2+32n+1 ( hypothèse de récurrence ) Alors on déduit que : un+1=12 n2+32n+1 +n+1=12 n2+52n+2 D'autre part : 12 n+12+32n+1+1=12n2+2n+1+32n+52=12 n2+n+32n+12+52=12 n2+52n+2 Ce qui implique que : un+1= 12 n+12+32n+1+1 Finalement on a montré par récurrence que : pour tout un=12 n2+32n+1 Comme limn-->+infinity32n=+infinity et limn-->+infinity12 n2=+infinity alors on déduit que : limn-->+infinityun=+infinity Exercice 3 Etude de variations de f La fonction f est bien définie sur l'intervalle 0,+infinity Puis déterminons la limite de f au voisinage de +infinity : limx-->+infinityfx=limx-->+infinity5x+1x+1=5 Après , la fonction f est dérivable sur l'intervalle 0,+infinity ,car elle est le produit de deux fonctions dérivables, et pour tout f'x=5x+1-5x+1x+12=4x+12, alors on déduit que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle 0,+infinity , ainsi , voici le tableau de variations de f : Le tableau suivant donne les valeurs des 4 premiers termes : n un - f(1,57) Alors voici la construction des 4 premiers termes : D'après la question précédente on constate que les quatre premiers termes de la suite un décroissent alors on peut conjecturer que la suite un est décroissante , Après , pour tout un+1=fun et comme la fonction est positive , alors on peut conjecturer que pour tout la suite un est positive Alors la suite un est décroissante et minorée , alors elle converge Montrons par récurrence que , 0≤un+1≤un≤3 pour tout entier n de N Pour n=0 : u0=3 et u1=2 alors 0≤u1≤u0≤3 Supposons que 0≤un+1≤un≤3 et montrons que 0≤un+2≤un+1≤3 Comme 0≤un+1≤un≤3 ( hypothèse de récurrence ) Donc : f0≤fun+1≤fun≤f3 ( car f est croissante) Puis comme pour tout n de N , un+1=fun et f0=0 et f3=2 Ce qui implique que : 0≤un+2≤un+1≤3 Finalement on a montré que 0≤un+1≤un≤3 pour tout entier n de N Comme pour que pour tout n de 0≤un+1≤un , alors ceci implique que la suite un est décroissante et elle est minorée par alors la suite la suite un converge (convergence monotone) Soit Alors : vn+1=un+1-1un+1+1=5un+1un+5-15un+1un+5+1=4un-46un+6=23un-1un+1=23vn On a montré que pour n ∊ N , vn+1=23vn , ce qui conclut que la suite vn est une suite géométrique dont la raison est 23 et son premier terme est : v0=u0-1u0+1=12 Pour tout n de N , vn=un-1un+1 alors on déduit que pour tout n de N , 1-vnun=1+vn, ce qui implique que pour tout n de N : un=1+vn1-vn Comme la suite la suite vn est une suite géométrique dont la raison est 23 et -1+infinityvn=0 Puis , on a montré que pour tout n ∊ un=1+vn1-vn , et comme limn-->+infinityvn=0 On déduit que : limn-->+infinityun=1 Exercice 4 Soit n de Montrons que pour tout k appartenant à l'intervalle 1,n , nn2+n≤nn2+k≤nn2+1 Comme k appartient à l'intervalle 1,n , alors ceci implique : n2+1≤n2+k≤n2+n Donc, pour tout entier k appartenant à l'intervalle 1,n : 1n2+n≤1n2+k≤1n2+1 Alors , on conclut que pour tout k appartenant à l'intervalle 1,n : nn2+n≤nn2+k≤nn2+1 Ce qui montre que le plus petit des n termes de la somme définissant un est le terme nn2+n et que le plus grand des n termes de la somme définissant un est le terme nn2+1 Soit n de On a montré , que pour tout entier k appartenant à l'intervalle 1,n : nn2+n≤nn2+k≤nn2+1 Ce qui implique que pour tout n de , k=1nnn2+n≤k=1nnn2+k≤k=1nnn2+1 Puis comme : k=1nnn2+n=n2n2+n , k=1nnn2+1=n2n2+1 et k=1nnn2+k=un On conclut l'encadrement suivant pour un , pour tout n de : n2n2+1≤un≤n2n2+1 Après, comme : limn-->+infinityn2n2+1=1 et limn-->+infinityn2n2+n=1 alors : limn-->+infinityun=1 L'algorithme détermine le plus petit rang n pour lequel la suite un soit le plus proche de sa limite 1 avec les conditions 0,99≤un≤1,01, ainsi , le nombre N représente en sortie le plus petit range pour lequel la suite un soit le plus proche de sa limite 1 avec les conditions 0,99≤un≤ et S en sortie donne la valeur de la suite un associée à ce rang N. [...]