Les fonctions réelles

Thèmes abordés

Mathématiques, fonctions réelles

Résumé du document

Ce document comprend deux exercices de mathématiques sur les fonctions réelles.

Extraits

[...] Montrons l'injectivité de g par l'absurde : Soit (y1,y2)∈F2tel que y1 =y2 et g(y1)=g(y2) F est surjective donc ∃(x1,x2)∈E2 tels que y1=f(x1) et y2=f(x2). Ainsi f(x1) =fx2et f est injective donc x1 =x2 et g°f est injective donc x1=x2 :absurde Ainsiy1=y2 donc g est injective. Ainsi g est bijective. Montrons l'injectivité de h par l'absurde : Soit (y1,y2)∈G2tel que y1 =y2 et h(y1)=h(y2) g°f est surjective donc ∃(x1,x2)∈E2 tels que y1=g°f(x1) et y2=g°f(x2). Ainsi g°f(x1) =g°fx2et h°g°f(x1)=h°g°f(x2) g°f est injective donc x1 =x2 et h°g°f est injective donc x1=x2 :absurde Ainsi y1=y2 donc h est injective. Ainsi h est bijective. [...]

[...] Pn=>Pn+1: Supposons Pnvraie: . +12n+1= 1n+2+1n+3+ . +12n+2=1n+1+1n+2+ . +12n+12n+1+12n+2-1n+1 12n+1+12n+2-1n+1=12n+1+12n+1-22n+1= 12n+1-12n+1=2n+1-2n+12n+12n+1=2n+2-2n-122n+1n+1=122n+1n+1>0 D'après Pn :1n+1+1n+2+ . +12n>=12 Ainsi 1n+1+1+1n+1+2+ . +12n+1>=12 car on ajoute un terme positif à Pn Ainsi ∀n∈N*,1n+1+1n+2+ . +12n>=12 Soit (un)n∈N*la suite défine par un=k=1n1k,soit p,q ∈N*, p≤q, considérons le terme up-uq up-uq=k=1p1k-k=1q1k=k=p+1q1k On pose p=n et q=2n, on a alorsup-uq=un-u2n=k=n+12n1k (d'après la question Ainsi ∃ε>0 ε=12tel que ∀N∈N, ∃p,q q=2Ntel que up-uq>=ε Donc la suite n'est pas de Cauchy. On peut donc en conclure que la suite n'est pas convergente. [...]

[...] On peut donc en conclure que g°f est surjective. De même on pose y3=fy2∈F, il existe alors y3∈F tel que gy3=y, donc g est surjective. A ce stade nous avons démontré que g°f est injective et surjective, donc elle est bijective. Nous avons aussi établi que g est surjective et f injective. Soit y∈F, il existe x∈F, tel que f°h°gx=y car f°h°g est surjective, c'est à dire f°hgx=y. Or gx∈G, appelons y2=gx, ainsi il existe y2∈G tel que f°hy2=y avec y∈G. [...]