Fonctions réciproques et suites récurrentes

Thèmes abordés

Fonctions réciproques, fonction polynôme, tableau de variations, équation, suites récurrentes

Résumé du document

Ce document propose un exercice et un problème corrigés de mathématiques sur les fonctions réciproques et les suites récurrentes.

Extraits

[...] De même est décroissante et minorée donc elle converge. Par un raisonnement analogue à celui-ci-dessus, on trouve que sa limite est également . et convergent vers donc converge également vers Lorsque on démontre comme dans que est décroissante et minorée par donc elle converge. De plus est décroissante et donc . Alors, par récurrence, pour tout . est majorée. Puis donc on peut démontrer comme au que est croissante. Ces 2 suites convergent et on démontre exactement comme au que leur limite est . [...]

[...] Ainsi il existe une fonction définie sur R telle que Ou encore De plus, puisque est dérivable et strictement croissante donc aussi. Problème et définie et dérivable sur On a : D'où le tableau de variations de : est définie sur R\{-1}donc est définie pour et Résolvons Ainsi, est définie sur ; D'où le tableau de variations de Résolvons Ainsi Résolvons Ainsi D'après le tableau de variation, pour , est croissante. De plus . Ainsi si alors et si alors . Enfin, si alors et sont bien de même signe. [...]

[...] Ainsi , pour tout . d'après la question précédente. Supposons qu'au rang on ait : Alors, comme est croissante sur l'intervalle on obtient : D'où Par récurrence, est croissante. De plus elle est majorée par De même est minorée (au moins par voir plus haut), et comme pour , on démontre par récurrence comme ci-dessus que est décroissante. est croissante et majorée donc elle converge. Notons sa limite. Comme est continue sur l'intervalle tend vers .Or qui tend également vers . Ainsi . [...]