Les fonctions de plusieurs variables et les intégrales multiples

Thèmes abordés

Fonction, Courbes paramétrées, Surfaces paramétrées, difféomorphisme, fonction implicite, équation, dérivée partielle, fonction bijective, tangente, équation cartésienne, cône, paramétrage, plan tangent, vecteur normal unitaire

Résumé du document

Ce document comporte des exercices corrigés de mathématiques portant sur les fonctions de plusieurs variables et les intégrales multiples.

Extraits

[...] Les fonctions de plusieurs variables et les intégrales multiples EXERCICE 1 Soit et vérifiant : Ce système est équivalent au système suivant : Qui est lui-même équivalent au système : Ainsi, pour chaque couple de , il y a un et un seul antécédent par la fonction . est donc bijective et on a : Chaque composante de est comme addition et composition de fonctions polynomiales et exponentielle. Il en est de même pour chaque composante de . Et comme est bijective de sur , on en déduit que est un -difféomorphisme de sur . [...]

[...] Si , il n'y a donc ni vecteur normal ni plan tangent à la surface en ce point. Pour , on a ainsi un vecteur normal à la surface qui a comme coordonnées : Rendons maintenant ce vecteur unitaire. Pour cela, calculons la norme du vecteur : On obtient finalement vecteur normal unitaire à la surface C : - Recherche de l'équation du plan tangent à la surface C au point pour Lorsque l'on connait les coordonnées d'un vecteur normal à la surface en un point , alors une équation du plan tangent à la surface en ce point est : Dans notre cas, on a : On obtient alors : Et comme , on obtient finalement : EXERCICE 4 : est : est Ainsi est comme composée de fonctions . [...]

[...] Le coefficient directeur de la tangente à l'ellipse en est donnée par le calcul suivant : Avec : On obtient : On obtient ainsi l'équation cartésienne de la tangente à l'ellipse au point On a : ii) On a et Et donc : . L'équation paramétrique de la tangente à l'ellipse en est donc : A partir de l'équation on a : Et donc : On a donc bien . Les équations et sont donc bien équivalentes. En bonus : représentation graphique de l'ellipse : EXERCICE 3 - Recherche des coordonnées du vecteur normal unitaire à la surface C : On a donc : On a alors : Ainsi, le point ) est régulier si et seulement si . [...]