Fonctions de plusieurs variables et analyses vectorielles d'intégrales multiples

Thèmes abordés

Fonctions mathématiques, dérivée partielle, analyse vectorielle, linéarisation d'une fonction, fonction continue

Résumé du document

Le document contient 3 exercices corrigés de niveau licence sur les domaines de définition des fonctions et de leurs variables, ainsi que sur la réalisation d'analyses vectorielles.

Extraits

[...] Ainsi n'est pas une partie fermée. Prenons un point de de la forme . Pour toute boule ouverte de centre et de rayon , on peut trouver un point de cette boule ouverte qui n'appartienne pas à . Le point par exemple. Ainsi n'est pas un ouvert. Finalement n'est ni fermé ni ouvert. Le domaine de définition de est le suivant : La suite de terme général est une suite dont les termes appartiennent à mais de limite qui n'appartient pas à . [...]

[...] Pour les valeurs négatives de , on a . donc la dérivée à gauche de par rapport à est Pour les valeurs positives de , on a . donc la dérivée à droite de par rapport à est Les dérivées étant différentes, n'a pas de dérivée partielle par rapport à en . On peut faire le même raisonnement pour prouver que n'a pas de dérivée partielle par rapport à en Or, on sait qu'une fonction différentiable en un point a toutes ses dérivées partielles qui existent en ce point. [...]

[...] Fonctions de plusieurs variables et analyses vectorielles d'intégrales multiples Exercice 1 est l'image réciproque de par la fonction , qui est une fonction continue. Or est de toute évidence une partie fermée de . (Complémentaire de qui est un ouvert comme réunion de deux ouverts). étant l'image réciproque d'un fermé par une application continue, c'est une partie fermée de La fonction est continue. L'image réciproque de l'ouvert par cette fonction est donc une partie ouverte de La fonction est continue. [...]

[...] On a alors : D'où : Prenons et faisons tendre vers . On a alors : D'où : On obtient deux limites différentes donc la fonction ne peut pas être prolongée par continuité en . Soit Alors, il existe tel que et On a alors : Ainsi Donc peut donc être prolongée par continuité en par . On a : On a ainsi On a ainsi On a deux limites différentes, et donc ne peut pas se prolonger par continuité en . [...]

[...] Finalement est ouvert mais pas fermé. Le domaine de définition de est le suivant : La fonction est une fonction continue sur De plus, l'ensemble est l'image réciproque de l'intervalle par la fonction . étant un ouvert et étant continue, on en déduit que est un ouvert. La suite de terme général est une suite dont les termes appartiennent à mais de limite qui n'appartient pas à . Ainsi n'est pas une partie fermée. Finalement est ouvert mais pas fermé. [...]