Fonctions de plusieurs variables, analyse vectorielle et intégrales multiples

Thèmes abordés

Topologie, continuité, différentiabilité, extrémum, fonction mathématiques, analyse vectorielle, intégrales, domaine de définition, vecteurs, minimum local, système d'équations

Résumé du document

Ce document résout des exercices de Mathématiques de 2e année de Licence.
Les thèmes abordés comprennent les fonctions de plusieurs variables, l'analyse vectorielle, les intégrales multiples, etc.

Extraits

[...] On a : limx,y-->(x0,y0)fx,y=limx,y-->(x0,y0)(x+y) D'où : limx,y-->(x0,y0)fx,y=x0+y0 par continuité de la fonction valeur absolue. D'où : limx,y-->(x0,y0)fx,y=f(x0,y0). On en déduit que f est continue sur R2. f est dérivable par rapport à chaque variable et on a : dfdxx,y=exy+xyexy=(1+xy)exy dfdyx,y=x2exy Ces deux dérivées partielles sont continues sur R2 comme composées, sommes et produits de fonctions continues. f ayant toutes ces dérivées partielles qui existent et qui sont continues sur R2, on en déduit que f est de classe C1. Or une fonction de classe C1 est différentiable, donc f est différentiable sur R2. [...]

[...] Fonctions de plusieurs variables, analyse vectorielle et intégrales multiples Exercice 1 : Topologie E est l'image réciproque de par la fonction qui est une fonction continue. Or est de toute évidence une partie fermée de R. (Complémentaire de ]-infinity;0U0;+infinity[, qui est un ouvert comme réunion de deux ouverts). E étant l'image réciproque d'un fermé par une application continue, c'est une partie fermée de R2. La fonction est continue. L'image réciproque de l'ouvert ]-1;+infinity[ par cette fonction est donc une partie ouverte de R2. [...]

[...] Il suffit de prendre comme rayon r=min?(x+1,x-1,y+1,y-1)2. Ainsi E?⊂G. Finalement G=E?. La frontière de E est alors : frE=E\E?. On obtient : Le domaine de définition D de f est le suivant : tel que La suite de terme général un=1n,1n est une suite dont les termes appartiennent à D mais de limite qui n'appartient pas à D. Ainsi D n'est pas une partie fermée. Prenons un point A de D de la forme Pour toute boule ouverte de centre A et de rayon on peut trouver un point de cette boule ouverte qui n'appartienne pas à D. [...]

[...] Prenons un point quelconque A de D. Alors il existe une boule ouverte de centre A et de rayon r dont tous les éléments sont eux-mêmes dans D. Il suffit pour cela de prendre r=minx-y2,y2 par exemple. Ainsi D est un ouvert. Finalement D est ouvert mais pas fermé. Le domaine de définition D de f est le suivant : tel que La fonction est une fonction continue sur R2. De plus, l'ensemble D est l'image réciproque de l'intervalle +infinity[ par la fonction g. [...]

[...] Alors, il existe r>0 et θ∈R tel que x=rcosθ et y=rsinθ. On a alors : fx,y=frcosθ,rsinθ=r3((cosθ)3+(sinθ)3)r2((cosθ)2+(sinθ)2)=r((cosθ)3+(sinθ)3) Ainsi on a frcosθ,rsinθ<=2r D'où : limr-->0frcosθ,rsinθ=0 Or f0,0=0. Ainsi f est continue en et par suite sur R2. Exercice 3 : Différentiabilité On a : fy2,y=y42y4=12 Ainsi limx,y-->(0,0)fy2,y!=0=f(0,0) donc f n'est pas continue en 0,0. On sait qu'une fonction est continue en tout point où elle est différentiable. Elle ne peut donc pas être différentiable en d'après ce qui précède. Pour les valeurs négatives de on a fx,y=-x+y. [...]