Fonctions exponentielles - Calcul intégral des éléments de symétrie

Thèmes abordés

Fonctions mathématiques, fonction exponentielle, fonction intégrale, symétrie, fonction dérivée, tableau de signes

Résumé du document

Ce document se compose de 2 exercices corrigés sur l'étude des fonctions exponentielles, et plus précisément sur les propriétés de symétrie des intégrales.

Extraits

[...] On peut déduire que la fonction est concave sur et convexe sur Déterminer l'équation de la tangente T à la courbe C en son point d'inflexion. Un point d'inflexion est un point où le signe de la deuxième dérivée change. De notre étude, le seul candidat possible pour un point d'inflexion est Évaluons f2? et en x = = ? = L'équation de la tangente en un point est donnée par : où m est la pente de la tangente. Pour notre point d'inflexion et la pente l'équation devient : C'est l'équation de la tangente à la courbe C en son point d'inflexion. [...]

[...] Résumé : La fonction f n'intersecte pas l'axe des abscisses. La fonction f n'intersecte pas l'axe des ordonnées, car x = 0 est une asymptote verticale. Étudions le signe du dénominateur : Nous avons déjà déterminé que le dénominateur s'annule pour : ?ln Pour déterminer le signe du dénominateur sur les différents intervalles de prenons des points-tests : Pour x 0 : Ce dénominateur est positif. Donc, est positif dans cet intervalle. [...]

[...] En utilisant notre substitution, ces solutions donnent : e?x e?x=3/19??x = ?ln Ces deux points sont des points de discontinuité pour f car le dénominateur devient zéro à ces points. Ainsi, le domaine de définition de f est l'ensemble des réels R sauf les points x=0 et x=?ln Le domaine de définition de f est donc : Df? = Cela signifie que f est définie pour toutes les valeurs de x sauf x = 0 et x = ?ln Étude des branches infinies : Lorsque : e?x tend vers donc le dénominateur tend vers et tend vers = Lorsque : e?x tend vers l'infini, et tend aussi vers 0. [...]

[...] Fonctions exponentielles - Calcul intégral des éléments de symétrie I. Exercice 1 1. Domaine de définition : Le domaine de définition de est l'ensemble des réels sauf le point où le dénominateur est zéro. Nous devons résoudre l'équation suivante pour connaitre ce point : Faisons une substitution pour simplifier cette équation. Posons : y = e?x ? e?2x = y2 Avec cette substitution, l'équation devient : ?19y2 + 22y ? 3=0 Il s'agit maintenant d'une équation quadratique en y. Pour résoudre cette équation, nous utilisons la formule quadratique : où : a = ?19 b=22 c = Calculons le discriminant : ?=b2?4ac ?=222 ? [...]

[...] - Sur l'intervalle] -ln f est croissante. - X = 0 est une asymptote verticale, donc f n'est pas défini à ce point. Sur l'intervalle f est croissante. Pour déterminer les points d'intersection de la courbe avec les axes, nous allons : - Trouver les points où la fonction coupe l'axe des abscisses, c'est-à-dire résoudre f(x)=0. - Trouver le point où la fonction coupe l'axe des ordonnées, c'est-à-dire trouver f(0). 1. Intersection avec l'axe des abscisses = : Nous cherchons les valeurs de x pour lesquelles f(x)=0. [...]