Fonctions exponentielles - exercices et corrigés

Thèmes abordés

Mathématiques, fonctions exponentielles, point d'intersection, tangente, fonction dérivée, équation, point d'abscisse, coefficient directeur

Résumé du document

Série d'exercices corrigés sur les fonctions exponentielles : tangente, dérivée, abscisse, coefficient directeur, équation réduite...

Extraits

[...] par ailleurs, lorsque , on a : . Calculons maintenant : Calculons désormais les limites de la fonction g aux bornes (infinies). On peut écrire également sous la forme : On a : Donc : De plus, Donc : On peut désormais présenter les variations de g dans un tableau : Variations de g C1 est la courbe représentative de la fonction f1 telle que définie en partie A : On rappelle également que la droite a pour équation : . [...]

[...] Il est donc solution aux deux équations de tangentes déterminées précédemment. On peut donc écrire l'égalité suivante : Ou encore : Donc : Sachant que donc comme vu en partie on a forcément : En utilisant le fait que le point M appartient à on remplace x par xM dans l'équation de la tangente. On obtient : M a pour coordonnées . On remarque que M appartient à la courbe de la fonction h telle que : . La fonction h est la fonction exponentielle. En effet : . [...]

[...] Fonctions exponentielles – Exercices et corrigés I. Exercice 1 A. Partie A Les fonctions fk sont définies et dérivables sur l'ensemble des réels. Elles admettent pour dérivées les fonctions f'k. On peut écrire fk sous la forme : Avec : Et : Donc : Une fonction f admet une tangente en un point d'abscisse a ayant pour équation : Ou encore : Par ailleurs, si fk admet pour tangente la droite d'équation en alors on a : Par identification du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine de la droite, on obtient : Ou encore : Or, en utilisant notre expression de f'k(x) et la première ligne du système ci-dessus, on trouve : Donc : D'où finalement : On en déduit que f1 est l'unique fonction qui a pour tangente la droite c'est-à-dire qui admet 1 comme nombre dérivé en -2. [...]

[...] Comme la fonction exponentielle est strictement positive, on a : . Donc on obtient que : On trouve bien que : On en conclut que la courbe C est bien toujours au-dessus de la courbe C'. B. Partie B a. Calculons l'expression de la dérivée de f. Pour cela, on peut écrire sous cette forme : Avec : Et : On obtient alors : L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse a pu s'écrire sous la forme : Aussi, on trouve l'équation réduite de la tangente : b. [...]