Fonctions et équations - publié le 28/06/2024

Thèmes abordés

Fonction mathématiques, équation, équation bicarrée, second degré, représentation graphique, tableau de variation, coefficient directeur

Résumé du document

Ce document résout trois exercices de mathématiques sur les équations et les fonctions avec les méthodes de niveau Première.

Extraits

[...] Représentation graphique d'une fonction Graphiquement, le coefficient directeur de d est La courbe passe par le point donc on obtient 3=a+b+c La courbe passe par le point donc on obtient : 2=2a+b+c2 La première question nous permet d'écrire : f'1=-3. Or on a : f'x=a-cx2 D'où : La troisième équation nous donne : a=c-3. Ainsi la première équation se transforme en : 3=c-3+b+c soit b=-2c. Et enfin la deuxième équation s'écrit alors : 2=2(c-3)-2c+c2 soit : 2=c2-6. On obtient : c=16. Et ensuite : a=c-3=16-3=13. Et finalement : b=-2c=-32. [...]

[...] Il faut donc chercher le nombre de solutions de cette dernière équation selon la valeur de p. ?=22-4x1x1+p=-4p Pour donc l'équation n'a pas de solution : il n'y a aucun point d'intersection entre la courbe et la droite donnée. Pour donc l'équation a une unique solution : il y a donc un point d'intersection entre la courbe et la droite donnée. Pour donc l'équation a deux solutions : il y a donc deux points d'intersection entre la courbe et la droite donnée. [...]

[...] Fonctions et équations Résolution d'équations bicarrées Posons X=x2. On obtient alors l'équation : -2X2+7X+5=0 ?=49+40=89. D'où : X1=-7-89-4=7+894>0 ; X2=-7+89-4=7-894<0 x2=7+894 nous donne alors deux solutions : x1=7+892 ; x2=-7+892 x2=7-894 n'a en revanche aucune solution dans R Posons X=x2. On obtient alors l'équation : X2+X-20=0 ?=1+80=81. D'où : X1=-1-812=-5 ; X2=-1+812=4 x2=4 nous donne alors deux solutions : x1=2 ; x2=-2 x2=-5 n'a en revanche aucune solution dans R. Posons X=x2. On obtient alors l'équation : 2X2+13X-7=0 ?=169+56=225. D'où : X1=-13-154=-7 ; X2=-13+154=12 x2=12 nous donne alors deux solutions : x1=22 ; x2=-22 x2=-7 n'a en revanche aucune solution dans R. [...]

[...] f est continue sur R. De plus f est strictement décroissante sur ]-infinity;-32] puis strictement croissante sur [-32;+infinity[. De plus f(]-infinity;-32])=[-54; +infinity[ et ([-32;+infinity +infinity[ . On en déduit : Si l'équation fx=m n'a aucune solution Si l'équation fx=m a une unique solution Si l'équation fx=m a deux solutions Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe et de l'axe des abscisses revient à résoudre fx=0 soit x2+3x+1=0 ?=32-4x1x1=5 x1=-3-52 ; x2=-3+52 Les coordonnées des points cherchés sont donc : -3-52;0 ; -3+52;0 Il y a intersection entre la courbe et la droite pour un x donné si et seulement si fx=y. [...]