Fonction mathématiques, théorème des valeurs intermédiaires, borne supérieure, lipschitzienne, limite d'une fonction, continuité
Ce document de niveau universitaire propose un exercice corrigé de mathématiques sur les fonctions. Le but de cet exercice est d'étudier quelques cas d'existence de points fixes.
[...] f est k-lipschitzienne, donc pour tout x et y de on a : fy-f(x)<=ky-x avec On a : fx-f(0)<=kx donc : fx-f(0)<=kx. On obtient : fx-x-f0<=kx-x puis fx-x<=k-1x+f(0) Finalement : f est continue car lipschitzienne. En effet quand y tend vers y-x tend vers 0 et donc fy-f(x) tend vers 0 ce qui montre bien que tend vers fx. f étant continue, g l'est également comme somme de fonctions continues. On a : k<1 donc k-1<0. De plus donc k-1x<=0. Ainsi quand x tend vers +infinity, k-1x tend vers -infinity. Grâce à l'inégalité on en déduit alors que limx-->+infinityg=-infinity. [...]
[...] Les fonctions Soit g la fonction telle que, pour tout x de gx=fx-x. Comme f est continue, g est également continue. On a : ga=fa-a>=0 car gb=fb-b<=0 car g est continue, et Ainsi d'après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit qu'il existe tel que gα=0. On a alors fα-α=0 et donc fα=α. E est une partie non vide car de l'ensemble des réels. E admet donc une borne supérieure α. Par définition de b en est un majorant (car Et comme α est le plus petit des majorants, on en déduit que α<=b. [...]
[...] Et comme : on en déduit qu'il existe c appartenant à tel que fc=a et qu'il existe d appartenant à tel que fd=b. fc-cfd-d=a-cb-d. Or car et car Ainsi : fc-cfd-d<=0 Soit g la fonction définie par g:x-->fx-x. g est continue comme somme de fonctions continues. De plus on d'après la question précédente : donc g change de signe entre c et d. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc α compris entre c et d tel que gα=0. On a alors fα=α. α est donc un point fixe de f. [...]
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