Fonction d'une variable réelle, nombre complexe et calcul vectoriel

Thèmes abordés

Fonction d'une variable réelle, nombre complexe, calcul vectoriel, repère orthonommé du plan, limite, intervalle, équation de degré 3, forme trigonométrique, forme exponentielle, traitement du signal, amplitude, intensité, forme algébrique, Geogebra, Xcas, dérive de la fonction, rappel de mécanique, cosinus

Résumé du document

Ce document contient des exercices de mathématiques résolus portant sur la fonction d'une variable réelle, le nombre complexe et le calcul vectoriel.

Extraits

[...] Fonction d'une variable réelle, nombre complexe et calcul vectoriel Énoncé Résolution des exercices A Soit x dans l'intervalle considéré f-x=-x+tan-x=-x+sin-xcos-x=-x-sinxcosx=-f(x) (par parité de cos et imparité de sin). Ainsi, la fonction f est impaire sur Df On a limx-->PI2+tan(x)=-infinity donc en en déduit limx-->PI2+f(x)=-infinity, cela signifie que la courbe représentative admet une asymptote d'équation x=PI On sait que f sur son ensemble de définition et pour tout x f'x=2+tan2x=1+1cos2x La fonction qui a x associe cos⁡²(x) positive sur l'intervalle considéré. [...]

[...] Prenons x=PI2+k, l'image de ce point par f existe définie puisque PI2+k =PI2+aPI. La relation d'imparité donne alors fx=fPI2+k=fPI2 c'est absurde car f n'est pas définie sur les points PI2+aPI. B On calcule directement P-2i=-2i3+2i-1-2i2+1-2i-2i+2i=8i-8i+4-2i-4+2i= On va partir de l'expression littérale pour retrouver les coefficients, z+2iaz2+bz+c=az3+b+2aiz2+c+2biz+2ci et par unicité de l'écriture d'un polynôme on a a=1b+2ai=2i-1c+2bi=1-2i2ci=2i soit finalement et On cherche à résoudre l'équation Pz=0. On peut dire que cette équation est vérifiée si un des deux termes est nul soit z+2i=0z2-z+1=0. [...]

[...] De même que précédemment, il vient Gu=u2u2+12+uu2+1²=u2(u2+1)u2+12=u u2+1u2+1=uu2+1 et aussi la valeur de l'argument car Tjω=Gucosθu+jsinθu=uu2+1cosθu+jsinθu ce qui implique que sin(θu)=1u2+1 et cos(θu)=uu2+1. On en déduit que tanθu=sinθucosθu=1u donc par passage à la fonction inverse θu=arctan1u. θ dérivable comme fonction usuelle et θ'u=11+1u2=u2u2+1. θ'u est strictement pour tout u dans Cela implique que la fonction θ est strictement croissante sur On a limx-->0+arctan1x=limy-->+infinityarctan y=PI2 et de même limx-->+infinityarctan1x=limy-->0arctan y=0. Cf les courbes avec en bleu θ en rouge G et en vert la courbe de la question i). [...]

[...] La courbe d'équations paramétrique donne un demi-cercle de centre 0,5 et de rayon 0,5. D L'angle formé par les deux vecteurs est supérieur à 90° or la formule du produit scalaire est u.v=uxvxcosθ le signe sera alors négatif. D'après la formule précédente il vient WP=P.AB=PxABxcosθ+PI2=-PxABxsinθ. Or d'après les formules trigonométriques appliquées au triangle ABC sinθ=hAB donc on a finalement que WP=-Ph. Le travail vaut alors WP=-500x6=-3000 N. D'après la question WP=-PxABxsinθ. D'après la question -sinθ=cosθ+PI2=WPPxAB=-35 et par la fonction inverse du sinus θ≈ On sait que P=Px2+Py² et dans notre exemple P=Py=-mg donc finalement -500). [...]