Exercices sur les suites numériques

Résumé du document

Ce document propose des exercices corrigés sur le chapitre des suites numériques,
pour les élèves du premier cycle universitaire (première année) et les élèves des
classes préparatoires scientifiques.
Les exercices proposés sont de difficultés variables, d'énoncés courts, et servent à
approfondir la compréhension et la maîtrise des concepts du cours.
Tous les raisonnements sont explicités, et les solutions proposent des méthodes
élégantes et classiques. Un annexe en fin du document, rappelle l'énoncé du théorème
de Césaro, qui est souvent utilisé pour résoudre beaucoup de problèmes d'équivalence
des suites.

Extraits

[...] Remarquons d'abord que : avec : . C'est-à-dire en revenant à la définition : tel que : Et donc, pour n on a : Par suite : . En sommant : De plus : et : on déduit alors que : , c'est-à-dire que : et par suite : . Par continuité de la fonction exponentielle, on déduit que : . Exercice En utilisant la concavité de la fonction ln, on a l'encadrement suivant : les inégalités étant strictes pour x>0. [...]

[...] Comme : alors : , ce qui entraine : ( ) = Soit , il existe un entier naturel non nul tel que : ( Donc : [...]

[...] Exercice 5 : 1. considérons la fonction définie par : . on a : . Ceci nous permet de déduire par une récurrence très facile à faire, que . De plus, la relation : u - u = - u montre que la suite ) est décroissante. Donc la suite ) converge et sa limite vérifie : = - , soit et : et . Posons alors : on a : . Par le théorème de Cesaro (voir annexe), on obtient : ~ n , c'est-à- dire que : ~ n et donc : u ~ d'après la question on a : ~ . [...]

[...] Montrons par récurrence que : Pour et (d'après l'inégalité Supposons que la propriété est vraie pour et montrons qu'elle est vraie pour On a en utilisant l'hypothèse de récurrence : et (regarder la remarque en couleur ci-dessus). D'où la récurrence. La suite u est donc positive et décroissante, et par suite converge. Notons sa limite. vérifie : ) et . donc : =0. En effet, considérons la fonction définie par : La fonction est donc strictement décroissante avec donc l'équation a une unique solution. Comme l'unique solution de l'équation x=ln(1+x) est x=0. on déduit que : =0. Et finalement : . On va obtenir l'équivalent de en introduisant la suite v définie par : . [...]

[...] Enoncés des exercices Exercice 1 : Une suite réelle ( u ) , n IN, est dite de Fibonacci si u et pour tout entier naturel u = u Montrer que pour tout entier naturel n on a la relation : u + u u u u Déduire que l'équation suivante : - xyz(x+y+z) = admet une infinité de solutions dans IN . Exercice 2 : Soit ) une suite réelle définie par la relation de récurrence : x = a . et x = x pour n 1 a étant donné . [...]