Exercices résolus de mathématiques analytiques

Résumé du document

Le fascicule suivant contient des feuilles de travaux dirigés, des devoirs et des contrôles continus destinés aux étudiants de première année de Licence. Il contient des exercices sur :
- les calculs de développements limités ;
- l'application au prolongement par continuité ;
- l'application à l'étude locale des courbes représentatives de fonctions ;
- le développement limité de fonctions réciproques ;
- le développement limité et calcul de limites ;
- le développement limité et comportement asymptotique ;
- le développement limité et l'étude de fonctions ;
- une étude globale de fonctions de plusieurs variables.
Chacun de ces exercices est accompagné de son corrigé détaillé.

Extraits

[...] Réponses : solution de l'équation homogène : Ae x + avec A et B dans R. Solution particulière de l'équation avec second membre (on la cherche sous la forme a cos(x) + b sin(x)) : 3 cos(x) sin(x). Les solutions de l'équation sont donc les Ae x + + 3 cos(x) sin(x) où A et B sont dans R. Réponses : Solution particulière de l'équation avec second membre (on la cherche sous la forme Q(x)e x avec Q polynôme de degré 3 car 1 est racine de l'équation caractéristique) : ( 1 x3 + 1 x + d)ex où d est un réel quelconque (on peut prendre d = 0). [...]

[...] où ε est une fonction de deux variables continue et nulle en 0). Résultat : f = 1 + 3(x + 3y + 1)2 + y 2 ε(x y). Résultat : f = + x2 + π)2 ε(x, y π). La fonction f est définie sur R2 et a des dérivées partielles : = 2x 3y + 1 = 4y 3 3x qui sont continues sur R De plus, = = 0. D'après le théorème des fonctions implicites, il existe un intervalle ouvert I de R contenant un intervalle ouvert J de R contenant 1 et une fonction ϕ : I J tels que, pour tout x I et y f = 0 si et seulement si y = ϕ(x). [...]

[...] Exercice 6. Limite obtenue : Limite obtenue : Limite obtenue : 3. Quelques indications pour lim + 3 + 80x3 + 16x4 On fait le changement de variable y = pour se ramener à y . Alors f = 3 + 4 y y y = 1/4 x x = 2y 4 + 80y + 16 y y + y + yε(y) = 1/4 = y y + 5y + y y y 1 + ε(y) 2 donc la limite, quand y tend vers est Exercice 7. [...]

[...] x 1 De même, lim Donc limx→1 existe et vaut Pour l'autre dérivée partielle, on calcule. lim . On a lim y 1 + arctan(y) arctan(1) ϕ(y) ϕ(1) 3 = lim = ϕ = lim = . + + + 3y = lim = . [...]

[...] Déterminer son ensemble de définition. Déterminer les x tels que f = 0 ; f = 1. Exercice 11. Trouver, si elles existent, les limites suivantes : x3 + 1 x x x2 + 2x + 3 , x x 1 + x 0 x 1 1+x ln x ln(1 + ex ) , x x x2 + 2x + 5 x x x + 4 3x + 4 x + 3 ln(x2 + x Feuille d'exercices no 2 Rappel. [...]