Exercices - Fonctions et probabilités

Thèmes abordés

Sciences - Ingénierie - Industrie, Fonctions, probabilités, convergence, divergence, règle de d'Alembert, critère de d'Alembert, critère de Riemann, limites, série de fonctions, continuité, dérivabilité

Résumé du document

Ce document propose plusieurs exercices corrigés pour vous entraîner en mathématiques sur le chapitre des fonctions et des probabilités.

Extraits

[...] Calculer pour tout k compris entre 1 et 6. Calculer la probabilité d'obtenir un nombre pair. Calculer la probabilité d'obtenir un nombre premier. RÉPONSES On a ∀k ∈ P = k P Par conséquent, Probabilité d'obtenir un nombre pair Probabilité d'obtenir un nombre premier Exercice II Soit (An)n∈N une suite d'événements indépendants d'un espace probabilisé (Ohm,F,P). Montrer que. RÉPONSES On a Par conséquent Ce qui permet d'écrire ANALYSE Exercice I : points) Énoncer la condition nécessaire de convergence pour une série numérique [X]un. [...]

[...] Énoncer correctement le critère de d'Alembert pour une série numérique X un (avec à termes strictement positifs. Énoncer correctement la deuxième règle de comparaison. RÉPONSES Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une série numérique X un (avec soit convergente est : ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tel que Critère de d'Alembert : Soit [X]un (avec une série à termes strictement positifs. On suppose qu'il existe α ∈]0,1[ tel que Alors, la série [X]un (avec converge. On suppose qu'il existe β 1 tel que Alors, [X]un (avec diverge. [...]

[...] n vers la fonction f ≡ 0 La suite de fonctions converge simplement sur . En posant f ≡ 0 sur on obtient . Comme alors, la suite de fonctions converge uniformément sur vers f ≡ 0 a)Convergences simple, uniforme et normale En posant f ≡ 0 sur on obtient . Comme la série numérique converge d'après le critère de Riemann alors, la série de fonctions fn (avec converge normalement donc, uniformément et simplement sur vers S. Comme de plus, chaque fn est continue sur et que la convergence uniforme conserve la continuité alors, S est continue sur La série de fonctions fn (avec converge simplement sur vers S Chaque fn est dérivable sur et on a . [...]

[...] Deuxième règle de comparaison : Soient et deux autres strictement positives telles que Alors, on a les résultats suivants : [X]vn converge =⇒ [X]un converge [X]un diverge =⇒ [X]vn diverge. Exercice II : points) Étudier la nature de la série X un dans chacun des cas suivants : avec a ∈ R. (On discutera suivant les valeurs de RÉPONSES un = vn + wn avec et [X]vn converge d'après le critère des séries alternées. [X]wn converge d'après le critère de Riemann car Par conséquent, la série étudiée converge comme somme de deux séries convergentes . La série étudiée diverge d'après le critère de Bertrand. avec a ∈ R. [...]

[...] On peut aussi remarquer que est une série géométrique de raison On a Examen de Probabilités - Session 1 - Durée 1H Exercice : points) Soit λ > 0. On définit une probabilité p sur par . Vérifier qu'il s'agit bien d'une probabilité sur points) Soit A l'ensemble des nombres pairs. Calculer p(A). (on exprimera le résultat en fonction de λ). point) Soit B l'ensemble des nombres impairs. Calculer de deux façons différentes. points) Que peut-on déduire des questions 2 et 3 ? [...]