Exercices corrigés de matrices et de sommes

Thèmes abordés

Matrice, somme, matrice génératrice, famille de matrice, égalité, raisonnement par récurrence, vecteur, coefficient, résultat

Résumé du document

Ce document contient des exercices corrigés portant sur les matrices et les sommes mathématiques.

Extraits

[...] Exercices corrigés de matrices et de sommes Énoncé : Exercice: La famille est-elle génératrice de M2,1(IR) ? La famille est-elle libre ? La famille est-elle génératrice de M3,1(IR) ? Exercice:, on pose f(x)=1+x+x[2]+...+x[n]. Calculer Montrer que pour x différent de En dérivant l'égalité obtenue à la question précédente, démontrer la formule : Etablir la même formule par un raisonnement par récurrence. Correction : La famille est-elle génératrice de M2,1(IR) ? Voici un contre-exemple : 13∈M2,1(R) mais n'appartient pas à Vect12,24. [...]

[...] La famille est-elle génératrice de M3,1(IR) ? ∀λ1,λ2,λ3∈R, λ3=0λ1-λ2+λ3=02λ1=0 ?λ3=0λ2=0λ1=0 Ainsi, c'est une famille libre de trois vecteurs. Or dim(M3,1R) donc c'est une base de M3,1(R) et donc c'est une famille génératrice. Exercice:, on pose Calculer f1=10+11+12+...+1n=n+1 Montrer que pour x différent de 1-xfx=1-x1+x+x2+...+xn =1+x+x2+...+xn-x-x2-...-xn-xn+1 =1+x-x+x2-x2+...+xn-xn-xn+1 =1-xn+1 Donc fx=1-xn+11-x En dérivant l'égalité obtenue à la question précédente, démontrer la formule : On justifie la dérivabilité de f sur R en expliquant que c'est une fonction polynomiale. Le deuxième membre de l'égalité est dérivable sur R-1 car il s'agit d'une fraction rationnelle. [...]