Exercices corrigés de mathématiques - Seconde, Première, Terminale

Thèmes abordés

Sciences - Ingénierie - Industrie, Exercices corrigés de mathématiques, Seconde, Première, Terminale, fonction numérique, fonction paire, fonction impaire, fonction à variable réelle, axe de symétrie

Résumé du document

Ce document contient 69 exemples d'exercices corrigés, niveau Seconde à Terminale. Il traite des exercices qui posent le plus souvent des difficultés aux élèves.

Extraits

[...] = x2-1 existe si, et seulement si x2-1 toujours vrai, car la valeur absolue n'est jamais négative donc Df=R = 1-x x-2 x↦1-x est définie sur R x ↦ 3x-4 est définie sur R x↦ x-2 est définie sur R Donc Df=R = 1x-1+1x-2+3x-3 existe si, et seulement si x-1 et x-2 et x-3 x et x et x Donc Df= R∖ 1;2;3 Autre écriture : Df=]-infinity;1 ∪ 1;2 ∪ 2;3 ∪ 3;+infinity[ = 1-x2 -1x-2 fxexiste si, et seulement si 1-x2>=0 toujours vrai dans R x-2 ⇒ x Donc Df= R∖ 2 x x fxexiste si, et seulement si toujours vrai dans R x ⇒ x vrai dans R Donc Df= R x x fxexiste si, et seulement si toujours vrai dans R x ⇒ x x ⇒ =12 ⇒ x ⇒ x et x = Donc Df= R∖ = 3x-1+2x-4 existe si, et seulement si 2x-4>=0x-1+2x-4 Soit 1=0 ⇒ x=1 Soit 2x-4=0 ⇒ x x -infinity + infinity x-1 - + + 2x-4 + Donc x-1>=02x-4>=0 ⇒ x∈[2;+infinity[ x-1+2x-4 ⇒ x-1 Vrai dans R Donc Df=[2;+infinity[ = 1x-1+2x-4 existe si , et seulement si 2x-4>=0x-1-2x-4 Soit 1=0 ⇒ x=1 Soit 2x-4=0 ⇒ x x -infinity + infinity x-1 - + + 2x-4 + Donc x-1>=02x-4>=0 ⇒ x∈[2;+infinity[ Supposons que x-1-2x-4=0 x-1 = 2x-4 x-1 ⇒ x∈[2;+infinity[x-1=2x-4 ⇒ x∈[2;+infinity[x=3 On a déduit donc Df=[2;+infinity[∖3 = On sait que : x=0 ⇒ x>=42 ⇒ x>=2x-3 ⇒ x Donc Df=[2;+infinity[∖3 = 1-x2-1 x-12 fxexiste si, et seulement si 1-x2>=0 ⇒ x-12 ⇒ x-12 vrai Soit 1-x1+x=0 ⇒ 1-x=0 ou 1+x=0⇒ x=1 ou x +infinity infinity 1-x2 - + - Donc = 1-x2-1 x-12 fxexiste si, et seulement si 1-x2>=0 ⇒ x-12 ⇒ x-12 x-12 ⟹x∈[-1;1] x-12 et x-12 = ⟹x∈[-1;1] x =32 et x = 12 Donc Df=[-1;1]∖12 = 4-x21- x-1 fxexiste si, et seulement si 4-x2>=0 ⇒ 1-x ⇒ 1-x 1-x ⟹x∈[-2;2] 1-x et 1-x = ⟹x∈[-2;2] x et x = 2 Bon à savoir : x>=2x ⟹x>2⇒x∈]2;+infinity[ Donc Df=[-2;0∪0;2[ ∖0 = 1-x21-4x2 existe si, et seulement si 1-x21-4x2 >=01-4x2>0 Soit 1-x2⟹x=1 ou Soit 1-4x2⟹x=12 ou -12 x -infinity - + infinity 1-x2 - + + 1-4x2 + + - 1-x21-4x2 + - + - + Donc Df=]-infinity;-1]∪]-12;12[ ∪[1;+infinity[ fx=x-1-x-2x-2x+1 fxexiste si, et seulement si x-1>=0x-2>=0x>=02x+1>=0x-2x+1 Soit x-1=0x-2=0x=02x+1=0 ⇒x=1x=2x=0x=-12 x -infinity - + infinity x-1 + + x-2 + x + - + + + 2x+1 - + + + + x∈[2;+infinity[ Supposons que x-2x+1=0 x-1>=02x+1>=0(x)2=(2x+1)2 (x)2=(2x+1)2⇒x=2x+1⇒ Or , -1∉[2;+infinity[ Donc Df=[2;+infinity[ fx=4x-1-x3-13x-1-x+2 fxexiste si, et seulement si 4x-1>=0 ⇒ x>=14 3x-1 - x+2 ⇒ 3x-1 = x+2 ⇒ x>=14 3x-1 = x+2 ⇒ x>=14 3x-1 et 3x-1 ⇒ x>=14 3x-x et 3x+x =-2+1⇒ x∈[14;+infinity[ x =32 et x Donc Df=[14;+infinity[∖32 fx= x32 x32=x*x12=xx fxexiste si, et seulement si Donc Df=[0;+infinity[ fx= 1-3x + 1-x 1-x + 3x-3 fxexiste si, et seulement si 1-x+3x-3 ⇒1-x vrai dans R Donc Df=R = fx=-x21-x , si &x=0⇒x0⇒x∈]-1;1[ Df1= ]-infinity;0∩-1;1[ fxexiste si , et seulement si x2+2x+1>=0⇒x+12>=0 vrai ⇒x∈R Df2= [0;+infinity[∩R=[0;+infinity[ Df= Df1∪Df2=]-1;0[∪[0;+infinity=-1;+infinity[ = fx=x3x-1, si x2-1 ,si fxexiste si , et seulement si x-1 =0>0⇒x Df1= ]-infinity;0[∩R∖1 =]-infinity;0[ fxexiste si , et seulement si x2-1 vrai ⇒x∈R Df2= [0;+infinity[∩R=[0;+infinity[ Df= Df1∪Df2=]-infinity;0[∪[0;+infinity[= R Fonction paire - Fonction impaire Soit f une fonction définie dans de courbe représentative(Cf) dans un repère orthogonal. [...]

[...] Nous conseillons aux élèves de bien s'entrainer sur tous les exercices afin de pouvoir aborder le plus rapidement possible les exercices du professeur en classe, les ouvrages comportant des exercices mathématiques, les devoirs et les examens de mathématiques. [...]

[...] Exemple 67 : Soit = xx2-1 définie sur R∖ limx -->-infinityxx2-1=limx -->-infinityxx2=limx -->-infinity1x=0 limx -->+infinityxx2-1=limx -->+infinityxx2=limx -->+infinity1x=0 La fonction f admet une limite finie à l'infini : on dit que la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote horizontale d'équation : y = 0 Bon à savoir : Quand limx -->+-infinityf(x)=b avec b ∈R : on dit que la droite : y = b est asymptote verticale à cf. [...]

[...] Exemple 68 : On considère la fonction f définie sur R∖ 2 par = x2-xx-2 Déterminons les réels b et c tels que : = ax+b +cx-2 1re méthode : division euclidienne x2-x x-2 - x2-2x x+1 x 2 a = 1 ; b = 1 ; c = 2 2e méthode : méthode d'identification = x2-xx-2 ; = ax+b +cx-2 = ax+b + cx-2 = ax2-2ax+bx-2b+cx-2 = ax2+(-2a+b)x-2b+cx-2 Par identification : a=1 ⟹ -2b+c=0 ⟹ c=2b=2*1=2 a b c Les coefficients de x2-x 1 - 3e méthode : méthode de Horner = x2-xx-2 Soit x-2=0⟹x=2 a = 1 ; b = 1 ; c = 2 = x+1 +2x-2 Soit Cf la courbe représentative de f Montrons que la droite : y = x+1 est une asymptote oblique à Cf en +infinity La droite : y = x+1 est une asymptote oblique à Cf en +infinity ssi limx -->+infinityfx-y=0 fx-y = x+1 + = 2x-2 limx -->+infinityfx-y= limx -->+infinity2x-2 = 2+infinity=0 Donc la droite : y = x+1 est une asymptote oblique à Cf en +infinity Etudions la position relative de la courbe Cf par rapport à la droite x -infinity 2 +infinity 2 + + x-2 - + 2x-2 - + Signe de fx-y fx-y0 Position de Cf par rapport à la droite Cf est en dessous de Cf est au-dessus de Exemple 69 : Soit = x2+x+1 définie sur R limx -->+infinity x2+x+1 = +infinity limx -->+infinity f(x)x = limx -->+infinity x2+x+1x = "+infinity"+infinity F.I (Forme indéterminée) limx -->+infinity x2+x+1x = limx -->+infinity x2(1+1x+1x2)x = limx -->+infinity x*(1+1x+1x2)x limx -->+infinity x*(1+1x+1x2)x = limx -->+infinity 1+1x+1x2 = 1 = a limx -->+infinity fx-ax= limx -->+infinity x2+x+1-x ="+infinity-infinity" F.I (Forme indéterminée) limx -->+infinity x2+x+1-x=limx -->+infinity (x2+x+1-x)(x2+x+1+x)x2+x+1+x = limx -->+infinity (x2+x+1)2-x2x2+x+1+x = limx -->+infinity x2+x+1 -x2x2+x+1+x =limx -->+infinity x+1 x2+x+1+x = limx -->+infinity x(1+1x)x2(1+1x+1x2)+x = limx -->+infinity x(1+1x)x*1+1x+1x2 =limx -->+infinity x(1+1x)x*1+1x+1x2 = limx -->+infinity (1+1x)1+1x+1x2+1 = 11+1 = 12 = b Résumé : limx -->+infinity f(x)x = 1 = a ; limx -->+infinity fx-ax = 12 = b On dit que la droite : y = x+12 est une asymptote oblique la courbe représentative de f Bon à savoir : Quand limx -->+-infinityf(x)x=a avec a ∈ et limx -->+-infinity fx-ax = b : on dit que la droite : y = ax+b est asymptote oblique à la courbe représentative de f. [...]

[...] Elles sont toujours définies dans R . [...]