Exercices corrigés de mathématiques pour le baccalauréat

Thèmes abordés

Baccalauréat, variable aléatoire, probabilités, trigonométrie, loi exponentielle, espérance mathématiques, équation, fonction carré, fonction de retouche

Résumé du document

Ce document propose 3 exercices corrigés sur les probabilités, la trigonométrie et les fonctions pour préparer l'épreuve de mathématiques du baccalauréat.

Extraits

[...] Soit x dans l'intervalle on a alors d'après la question précédente 0=60x+4>=605 soit 15>=60x+4>=12. On peut additionner les inégalités car tout est positif donc 12+0≤3x+60x+4≤15+3 et enfin -3≤f2x-x≤3 (mince on aurait voulu Autre tentative donc pour déterminer le signe. [...]

[...] On sait que cosPI3=12sinPI3= ainsi a=1+i3=2cosPI3+isinPI3=2eiPI3. On sait que i=eiPI2 donc b=2eiPI2. Ainsi, les deux points a et b sont sur un cercle de centre 0 et de rayon 2. On a (OA,OB)=argb-arga=PI2-PI3=PI6=30°. On a AF=f-a=a+b-a=b=2 de même BF=f-b=a+b-b=a=2, de plus on sait déjà que OA=OB=a=b=OA. Ainsi, les quatre côtés sont égaux et donc OAFB est un losange. Comme la figure est un losange, OF est donc une diagonale de ce losange, qui coupe donc l'angle (OA,OB) en deux. Ainsi (OA,OF)=15°. [...]

[...] D'après le cours, on sait que l'espérance de la loi exponentielle est : EX=1λ. Or ln2≈0,7 donc on en déduit que ln2λ=τ=3466=1-PX≤3466=1-1-e-3466λ=0,5. Ainsi, on en déduit que : 0,5=e-3466λ puis ln12=-3466λ soit ln2=-3466λ donc λ=ln23466≈0,002.On a alors EX=3466ln2≈5000 et 500024x30≈7 ainsi, la durée de vie moyenne est d'environ 7 mois. La loi exponentielle est sans vieillissement donc PX>=5000X>=9000=PX>=9000=1-PX≤9000=1-1-e-9000λ ainsi PX>=5000X>=9000≈16,5%. Exercice 2 : Trigonométrie Résolvons l'équation dans C : z2-2z+4z2+4=0. Cette équation est vérifiée lorsque l'un des deux termes s'annule, soit : z2-2z+4=0z²+4=0. [...]

[...] Ainsi, comme la fonction est décroissante et majorée par 0 sur et croissante majorée aussi par 0 sur on en déduit que gx≤0 sur On a alors montré que pour tout x de 2;1 f2x≤x. f2 est bien une fonction de retouche. l'aire Af décrite dans l'énoncé correspond à l'intégrale de la fonction considérée entre 0 et 1. Calculons alors Af1 et Af2. Af1=01x ex2-1 dx=ex2-1201=12-e-12≈0,32 Af2=014x-15+60x+4 dx=2x2-15x+60lnx+401=2-15+60ln5-60ln4≈0,39 Ainsi on a Af2>A_f1, donc d'après l'énoncé, la fonction qui a pour effet d'éclaircir le plus l'image est f1. [...]