Exercices corrigés d'équations différentielles et modélisation

Thèmes abordés

Équations différentielles, modélisation, oscillateur électrique, moteur à courant continu, équation homogène, solution homogène, conditions initiales, dérivée, polynôme, solution particulière, constante, second membre

Résumé du document

Ce document contient des exercices corrigés de mathématiques portant sur les équations différentielles et les modélisations.

Extraits

[...] Pour chacune des 4 valeurs de composants on a u=6V. On va donc chercher une solution particulière vpt de l'équation sous forme d'une constante vpt=A. En dérivant deux fois puis en injectant dans on trouve trivialement que A=6 donc vpt=6. On recherche ensuite les solutions homogènes de chacune des équations pour trouver la solution générale : R=Rext+r=6Ω ;L=8H ;C=1F donc b=RL=68=34 et c=1LC=18 L'équation sans second membre devient : d2vdt2+34dvdt+18v=0. On écrit le polynôme caractéristique : Pr=r2+34r+18 et on calcule son déterminant, puis ses racines : Δ=342-4x1x18=916-48=116>0 ; r1=-34-1162=-34-142=-12; r2=-34+1162=-34+142=-14 La solution homogène est donc de la forme vht=λe-t2+μe-t4. [...]

[...] Exercices corrigés d'équations différentielles et modélisation Équations différentielles x''t+2x't+xt=e-2t avec x0=0 On recherche d'abord une solution à l'équation homogène : xh(t). On écrit le polynôme caractéristique : Pr=r2+2r+1 et on calcule son déterminant, puis ses racines : Δ=22-4x1x1=4-4=0 La solution homogène est donc de la forme xht=λt+μe-t. On cherche ensuite une solution particulière sous la forme xpt=Ae-2t. xpt=Ae-2t⇒xp't=-2Ae-2t⇒xp''t=4Ae-2t En injectant dans l'équation on obtient : 4Ae-2t-4Ae-2t+Ae-2t=e-2t⇔Ae-2t=e-2t donc A=1. Une solution particulière est donc xpt=e-2t. La solution générale s'écrit donc : xt=xht+xpt=λt+μe-t+e-2t. [...]

[...] Pour un moteur à courant continu on relie le couple moteur à l'intensité par Cmt=Kci(t) et la force électromotrice à la vitesse de rotation par et=Keω(t) Les équations et donnent : Cmt=Jdωdt+fωt=Kci(t) d'où : it=JKcdωdt+fKcωt. On injecte cette expression de it dans l'équation à laquelle on substitue et par l'équation : ut=RJKcdωdt+fKcωt+LJKcd2ωdt2+fKcdωdt +Keω(t). Ce qui donne : ut=LJKcd2ωdt2+RJ+LfKcdωdt+RfKc+Keωt Et enfin : d2ωdt2+fJ+RLdωdt+Rf+KeKcLJωt=KcLJu(t). 2. On néglige les frottements donc f=0. L'équation devient : d2ωdt2+RLdωdt+KeKcLJωt=KcLJu(t). Une application numérique donne : RL=0,10,5.10-3=500 ;KcLJ=0,10,5.10-3x0,1=2000 ; KeKcLJ=0,95x2000=1900; KcLJU=2000x12=24000. Ce qui donne l'équation : d2ωdt2+500dωdt+1900ωt=24000. 3. Par analogie à la forme d2ωdt2+2λω0dωdt+ω02ω(t)=KEω02, on a alors : 2λω0=500ω02=1900KE=240001900 D'où : ω0=1900≅43,6 rad/sλ=50021900≅5,74K=240001900x12≅1,05. [...]

[...] On écrit le polynôme caractéristique : Pr=r2+94 et on calcule directement ses racines : r1=-i94=-i32; r2=i32 La solution homogène est donc de la forme vht=λcos3t2+μsin3t2. La solution générale vaut donc vt=λcos3t2+μsin3t2+6?v't=-32λsin3t2+32μcos3t2. En utilisant les conditions initiales on obtient : v0=0=λ+6v'0=0=32μ d'où μ=0λ=-6. La solution générale est donc : vt=-6cos3t2+6. 3. et 4. 5. On a écrit toutes les équations sous la forme d2vdt2+bdvdt+cv=du. Par analogie à la forme d2vdt2+2λω0dvdt+ω02v=KEω02, on a alors pour chaque équation : 2λω0=bω02=cKE=u. Dans tous les cas on a E=u=6V donc K=1. La pulsation ω0 et le coefficient d'amortissement λ se déduisent de : 2λω0=bω02=c⇔ω0=cλ=b2ω0=b2c . b=34;c=18?ω0=18=24;λ=34218=342>1. b=6;c=9?ω0=3;λ=62x3=1. [...]