Exercices corrigés d'algèbre linéaire

Thèmes abordés

Algèbre linéaire, matrice, application linéaire, noyau, image, changement de bases, coefficient réel, inverse des matrices, sous-espaces vectoriels, application linéaire injective, application linéaire bijective, matrice de passage

Résumé du document

Ce document contient 5 exercices corrigés issus d'un contrôle de connaissances en algèbre linéaire.

Extraits

[...] Exercice 15 Les vecteurs u1 et u2 ne sont pas liés, donc E est de dimension 2. En effet si on prend a et b tels que au1+bu2=0, la deuxième coordonnée nous donne 2b=0 donc b=0. Puis ensuite la première nous donne a=0. De la même manière, on peut montrer que u3 et u4 ne sont pas liés, quel que soit la valeur de m. On a donc dimF=2. On a : x∈E∩F si et seulement si il existe a,b,c et d réels tels que : x=au1+bu2=cu3+du4 Ce qui est équivalent au système d'équations suivant : a+b=d 2b=2c+d a+3b=2c+md Ou encore : b=c+12d a=12d-c 2c+2d=2c+md La dernière équation est équivalente à 2d=md et elle n'est compatible que si m=2 ou d=0 1[er] cas : m=2 On a alors u4=1,1,2 On a alors u3=u2-u1 et u4=12u1+12u2 Et comme (vu plus haut), u4) est une base de on en déduit que le système (u1,u2) génère F. [...]

[...] Soit : 21=4534 xy On obtient le système d'équations : 4x+5y=2 3x+4y=1 La deuxième équation donne : x=13-43y Puis la première donne alors : 43-163y+5y=2 On obtient : -13y=23 Et finalement : puis x=3 Ainsi Exercice 13 On a : fu3'=fu1+u2-2u3 Et comme f est une application linéaire, on obtient : fu3'=fu1)+f(u2)-2f(u3 Or fu1),fu2 et f(u3 exprimées dans la base sont les trois colonnes de la matrice donnée. On obtient alors : fu1)+f(u2)-2f(u3=5-31+112-23-11 fu1)+f(u2)-2f(u3=5+1-6-3+1+21+2-2 fu1)+f(u2)-2f(u3=001=u3' On obtient bien : fu3'=u3' Exercice 14 A est une matrice triangulaire supérieur donc son déterminant s'obtient en multipliant tous les termes de la diagonale. Autrement dit : detA=2x1x-1=-2!=0. A est donc inversible. [...]

[...] Exercices corrigés d'algèbre linéaire Exercice 10 Soit u l'application linéaire de R3 dans R3 , qui est représenté par la matrice A dans la base canonique de R3. Montrons par l'absurde que Keru={0}. Supposons pour cela qu'il existe un vecteur X1 non nul de R3 qui appartienne au noyau de et soit X la solution de l'équation suivante : AX=123 On a alors : AX+X1=AX+AX1=AX puisque AX1 est le vecteur nul. On a ainsi : AX+X1=AX=123 Or X1!=X+X1 puisque X1!=0. [...]

[...] Une base de E∩F et de E+F est donc (u1,u2) par exemple. cas : d=0. Les deux premières équations du système deviennent alors : b=c et a=-c. On obtient alors : x=c-u1+u2=cu3 E∩F est alors de dimension 1. Sa base est par exemple u3. Or on sait que dimE+F=dimE+dimF-dim?(E∩F). Donc : dimE+F=2+2-1=3 E+F est donc un sous-espace de dimension 3 de R3, qui est également de dimension 3. Ainsi E+F=R3 et une de ses bases est par exemple la base canonique. [...]