Exercice sur les probabilités

Thèmes abordés

Probabilités, probabilité conditionnelle, tirage

Résumé du document

Ce document comporte trois problèmes mathématiques sur les probabilités.

Extraits

[...] On retrouve bien cas différents. Problème 2 : D'après l'énoncé, on sait que des pièces qui passent dans M1 sont défectueuses donc on en déduit que PA=0,05. De même on trouve PB=0,02. Si la pièce est défectueuse après le passage dans chacune des machines cela veut dire qu'on a eu des défauts dans la machine M1 et dans la machine M2 donc C=A∩B. Si la pièce est défectueuse elle peut l'avoir été dans une des deux machines seulement donc D=A∪B. [...]

[...] Il reste alors 33 positions où choisir les 8 places des numéros 2 soit 338. En répétant ce raisonnement on montre qu'il y a en tout un nombre d'ordres de sortie de : 407338251312666=40 7 33 x33 8 25 x25 13 12 x12 6 6 =40 7 8 13 6 6 ≈1,24.1024 Si on ne tient pas compte de l'ordre, on cherche le nombre de couples possibles à tirer parmi les 40 lames. Cela fait un donc un total de 402=780 possibilités. [...]

[...] On cherche alors d'après l'énoncé la probabilité PDF=PD∩FP(D) or PD∩F=PA∪B∩A∩B=PA∩B=P(F). Ainsi : PDF=PD∩FP(D)=PFPD≈27,5% Problème 3 : On a N pièces en tout dont k défectueuses ainsi pour un seul tirage on a une probabilité de tomber sur une pièce défectueuse de kN. Pour trouver cette probabilité il faut compter le nombre de tirage possibles en tout et le nombre de tirages qui correspondent à aucune pièce défectueuse. Il y a N pièces et on en tire il y a donc Nn tirages différents possibles. [...]

[...] Par contre cette fois, il faut voir combien de façon on a d'avoir n-1 pièces non défectueuses parmi N-k et d'avoir 1 pièces défectueuses parmi k. On a respectivement N-kn-1 et k1 façons. Comme on peut avoir chaque combinaison de pièces non défectueuses et défectueuse, cela fait N-kn-1k1 possibilités soit p1=N-kn-1k1Nn≈46,1% On ne peut pas avoir plus de pièces défectueuses qu'il n'y en a en tout donc si q>k alors on a pq=0. Sinon, avec l'exact même raisonnement que précédemment on trouve qu'on a une probabilité de pq=N-kn-qkqNn. C'est un cas particulier de la réponse précédente avec q=k soit pk=N-kn-kkkNn=N-kn-kNn≈0,88%. [...]

[...] Si on a deux numéros cela signifie que l'on a tiré deux fois une lame 1. Il y a donc n=1 seule possibilité. Si on a tiré un 1 et autre chose, alors soit on a tiré 1 puis une des 4 autre valeurs possibilités) soit l'inverse possibilités). On a donc possibilités. Si aucune des lames ne porte le alors on a tiré un nombre différent au début possibilités) et pour chaque second tirage également (donc encore 4 possibilités pour chacun) soit n''=4x4=16 possibilités. [...]