Exercice de mathématiques - Les variables aléatoires

Thèmes abordés

Variables aléatoires, classe préparatoire commerciale, probabilité, loi binomiale, probabilité conditionnelle, constante

Résumé du document

Ce document propose un exercice corrigé de mathématiques sur les variables aléatoires à destination d'étudiants en classe préparatoire commerciale.

Extraits

[...] Pour cela on peut utiliser les relations de la question 4. On a alors E[Xn] = E[X0] + ce qui donne limn-->−infinity E(Xn) = E[X0] = 2/3 ∗ d. cela signifie que la moyenne du nombre de boules dans l'urne A tend vers 2/3 * d lorsque le nombre d'échange tend vers l'infini. Cela s'interprète comme la tendance à l'équilibre entre les deux urnes, car si les 2/3 des boules sont dans l'urne alors les 1/3 restants sont dans l'urne B. [...]

[...] Autrement dit, Xn peut prendre n'importe quelle valeur entière entre 0 et d inclusivement. Question 3 Pour calculer la probabilité conditionnelle PXn=j (Xn+1 = il faut prendre en compte les deux cas possibles : Si la boule qui est échangée est tirée de l'urne A ou de l'urne B. Soit PjA la probabilité que la boule qui est échangée vienne de l'urne A sachant que Xn=j. On a alors PXn+1=i Xn=j = Pj_A * PXn+1 = i Xn=j, la boule vient de A + * PXn+1 = i Xn=j, la boule vient de B Question 4 Pour démontrer que pour tout ∈ N x J0, dK, on a : P(Xn+1 = + 1)/d)P(Xn = i ) + - i = i - Il suffit de décomposer chaque état i en les 2 états i-1 et i+1 en utilisant les relations de la question3. [...]

[...] Exercice de mathématiques - Les variables aléatoires Question 1 La loi de X0, c'est-à-dire la distribution de probabilité de X0, dépend du nombre de boules qui ont été placées dans l'urne A lors des lancers de dé. La probabilité qu'une boule soit placée dans l'urne A est de 4/6 = 2/3. Donc la probabilité qu'exactement k boules soient placées dans l'urne A est de ∗ (1/3)(d−k) ∗ k). Cela donne une loi binomiale. Soit X0 la variable aléatoire qui donne le nombre de boules dans l'urne A. On a donc X0 Bin(d,2/3). Question 2 Pour tout n ∈ le support de Xn est l'ensemble d. [...]