Exercice de mathématiques sur les suites croisées

Thèmes abordés

Exercice de mathématiques, suites croisées, parts de marché, perte de clientèle, suite mathématique, fonction mathématique, principe de récurrence, propriété, suite convergente, suite géométrique

Résumé du document

Dans un pays, deux fournisseurs d'électricité ont le monopole du marché : Electic et Energo. On s'intéresse à la répartition des parts de marché de ces deux fournisseurs. En 2020, Electic a 55% des parts du marché. Chaque année, on prévoit que Electic perde 5% de ses clients, mais qu'il récupère 15% des clients de Energo.

Extraits

[...] Justification Lors de l'année 2020+n+1, Electic perd de ses clients par rapport à l'année d'avant 2020+n, le pourcentage des clients qu'il conserve est alors : an-5100an=0,95an Lors de l'année 2020+n+1, Electic gagne 15% des clients de Energo par rapport à l'année d'avant, l'année 2020+n, le pourcentage des clients qu'il gagne est donc : 15100bn=0,15bn Le pourcentage des parts de marché de Electic en année 2020+n+1 est donc : 0,95an+0,15bn , et nous avons, pour tout n ∈N, an+1=0,95an+0,15bn Déduction Nous savons que pour tout n ∈N, an+bn=100, ce qui équivaut à bn=100-an Remplaçons bn par 100-an dans l'expression de an+1. Nous avons alors : pour tout n ∈N, an+1=0,95an+0,15bn⇔an+1=0,95an+0,15100-an ⇔an+1=0,95an+15-0,15an ⇔an+1=0,8an+15 NB : Je précise ici l'erreur présente dans l'énoncé. C'est bien an+1=0,8an+15 et non pas an+1=0,8an+0,15 Déterminer l'expression On pose pour tout n ∈N, la suite géométrique Un=4*0,8n de raison 0,8 et de premier terme 4. Démontrons alors que, pour tout n ∈N, an+1=an+Un. [...]

[...] Supposons qu'elle est vraie au rang c'est à dire que pour tout n ∈N, Un=-0,2an+15. Démontrons alors qu'elle est vraie au rang n+1 : Pour tout n ∈N, -0,2an+1+15=-0,20,8an+15+15=-0,16an+12 et, Pour tout n ∈N, Un+1=Un*0,8=-0,2an+15*0,8=-0,16an+12 Nous avons donc, pour tout n ∈N, Un+1=-0,2an+1+15 La propriété est donc vraie au rang et donc, d'après le principe de récurrence, nous avons donc, pour tout n ∈N, Un=-0,2an+15 et donc pour tout n ∈N, an+1=an+Un Or, pour tout n ∈N, an+1=an+Un⇔0,8an+15=an+4*0,8n an+1=an+Un⇔an=4*0,8n-15-0,2 an+1=an+Un⇔an=75-20*0,8n Déterminer la limite de la suite limn-->+infinity0,8n=0 donc limn-->+infinity-20*0,8n=0 et limn-->+infinity75=75 donc limn-->+infinityan=75 La limite de la suite est 75, la suite est donc convergente, cela veut donc dire que plus les années passent, plus la part de marché du fournisseur d'énergie Electic se rapproche de 75%. [...]