Étudier une fonction - Exercice corrigé

Thèmes abordés

Fonction f, valeur absolue, impair, graphique, interprétation graphique, dérivabilité, dérivée, tableau de variation, tangente, asymptote, position relative, équation, solution

Résumé du document

Le document est un exercice corrigé en mathématiques. Il s'agit de déterminer une fonction f et d'en étudier les limites, la tangente, la dérivabilité...

Extraits

[...] Soit m ∈R , discuter suivant les valeurs de m le nombre de solutions de l'équation fx=m. Corrigé 1°) Détermination de Df fx ∃ si , et seulement si , x+1x-1 et x-1 x et x Df=-infinity;-1∪-1;1∪1;+infinity Df=R∖-1;1 2°) Nature de la fonction f x∈Df⇔x et x ⇔-x et-x ⇔-x∈Df ; x∈Df f-x=-x+ln-x+1-x-1 f-x=-x+ln-x-1-x+1 f-x=-x+lnx-1x+1 f-x=-x+lnx-1x+1 f-x=-x+lnx-1-lnx+1 f-x=-x-lnx+1-lnx-1 f-x=-x-lnx+1x-1 f-x=-x+lnx+1x-1 f-x=-fx f est impaire 3°a) Etude de la limite de f en 1. On pose X = x+1x-1 Quand alors X -->+infinity Quand alors X -->+infinity ⇒x-->1-alors x+1x-1=-X⇔x+1=-Xx-1⇔x+Xx=X-1⇔x=X-11+Xx-->1+ alors x+1x-1=X⇔x+1=Xx-1⇔x-Xx=-X-1⇔x=-X-11-X Il s'ensuit : limx-->1-x+lnx+1x-1=limX-->+infinityX-11+X+lnX=limX-->+infinityXX+lnX=limX-->+infinity1+lnX=+infinity limx-->1+x+lnx+1x-1=limX-->+infinity-X-11-X+lnX=limX-->+infinityXX+lnX=limX-->+infinity1+lnX=+infinity Interprétation graphique du résultat obtenu limx-->1-x+lnx+1x-1=limx-->1+x+lnx+1x-1=+infinity La droite D:x=1 est une asymptote verticale à Cf 4° l'ensemble de dérivabilité de f et l'expression de f'x La fonction rationnelle x⟼x+1x-1 est dérivable sur R∖-1;1 et ne s'annule pas sur Df donc x⟼lnx+1x-1 est dérivable. [...]

[...] Étudier une fonction - Exercice corrigé Soit f la fonction définie par : fx=x+lnx+1x-1 1°) Déterminer Df. 2°) Montrer que f est impaire 3°a) Etudier la limite de f en 1. Interpréter graphiquement ce résultat. 4° Préciser l'ensemble de dérivabilité de f et calculer f'x Dresser le tableau de variation de f 5° Déterminer une équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 0. Montrer que la droite y=x est asymptote à Cf. Etudier la position relative de ∆ par rapport à Cf. [...]

[...] La droite y=x est asymptote à Cf , si la condition suivante est vérifiée : limx-->+-infinityfx-y=0 limx-->+-infinityfx-y=limx-->+-infinityx+lnx+1x-1-x limx-->+-infinityfx-y=limx-->-infinitylnx+1x-1=limx-->-infinitylnxx=ln1=0limx-->+infinitylnx+1x-1=limx-->+infinitylnxx=ln1=0 Ainsi la droite y=x est asymptote oblique à Cf en - infinity et en +infinity . Etude de la position relative de ∆ par rapport à Cf. On sait que : fx-y=lnx+1x-1 Afin de déterminer le signe de fx-y , on suppose lnx+1x-1 [...]