Étudier une fonction et sa courbe représentative - Exercice corrigé

Thèmes abordés

Fonction, courbe d'une fonction, fonction réelle, fonction bijective, fonction dérivable, forme explicite d'une fonction, tableau de variation d'une fonction

Résumé du document

Le document est un exercice corrigé en mathématiques répondant à plusieurs questions selon l'énoncé suivant :
« Soit f la fonction définie par : f(x)=x^ 3/(x+1) si x <1 ou f(x)=√x/(x+1) si x≥ 1
C_f est la courbe représentative de f dans un repère orthonormé i = j = 1. »

Extraits

[...] Étudier une fonction et sa courbe représentative - Exercice corrigé Énoncé Soit f la fonction définie par : fx=x3x+1 si x [...]

[...] 3°/ Détermination du domaine de dérivabilité de f et calcul de l'expression f'x. x [...]

[...] D'où Dk-1=0;12 6°/ Dérivabilité de k-1 en calcul de k-1'56 et tracées de Ck-1 et Cf dans un même repère. Rappel : k-1 est dérivable en y0 si, et seulement si k'x0 et k-1'y0=1 k'x0 k-1 est dérivable en 56 si, et seulement si k'x0 et k-1'56=1 k'x0 Détermination de x0 kx0=y0⇔ k-1y0=x0 On sait que : y0=56∈0;12 kx0=y0 ⇔ x0x0+1=56 ⇔ 6x0=5x0+1 ⇔ 6x02=52x0+12 ⇔ 36x0=5x02+2x0+1 ⇔ 5x02+10x0+5 -36x0=0 ⇔ 5x02-26x0+5 ∆ = b2-4ac ∆ = -262-4x5x5 ∆ = 676-100 ∆ = 576 ∆ = 576 ∆ = 24 x01=-b-∆2a=26-2410=210=15 x02=-b+∆2a=26+2410=5010=5 Il en résulte x01=15 ∉1;+infinity x02=5 ∈1;+infinity D'où x0=5 k'x0=1-x02x0x0+12 ⇔ k'5=1-5255+12 ⇔ k'5=-42x36x5 ⇔ k'5=-1185 Donc k-1 est dérivable en y0= 56 Et k-1'56=1-1185 ⇔ k-1'56=-185 7°/ Détermination de la forme explicite de k-1x et calcul de k-1'x On pose y=xx+1 ⇔yx+1=x ⇔yx-x+y=0 Remarquons que : x=x2 ⇔yx2-x+y=0 Soit X = x ⇔yX2-X+y=0 ∆ = b2-4ac ∆ = -12-4xyxy ∆ = 1-4y2 ∆ ⇔ 1-4y2>0 ⇔x∈-12;12 Or : Dk-1=0;12∁-12;12 Donc ∆ est bien positif sur 0;12 Ainsi : 1-4y2>=0 ∀ y ∈0;12 ∆ = 1-4y2 X1=-b-∆2a=1-1-4y22y X2=-b+∆2a=1+1-4y22y X1 = x1 ⇔ X12=x12⇔x1=X12 X2 = x2 ⇔ X22=x22⇔x2=X22 Il s'ensuit : x1=1-1-4y22y2=k-1y x2=1+1-4y22y2=k-1y Nous avons déterminé déjà x0=5 en connaissant y0= 56 donc nous pouvons vérifier laquelle de ces deux fonctions prouvera x0=5 quand on remplace y0 par 56 k-1y=1-1-4y22y2 donc k-156=1-1-45622562=1-46256=26256=15 k-1y=1+1-4y22y2 donc k-156=1+1-45622562=1+46256=106256=55=555=5 Il en résulte : k-1y=1+1-4y22y2 En remplaçant y=x k-1x=1+1-4x22x2 Méthode 1 : Rappel : Théorème : Soit une fonction u dérivable sur un ensemble I et n un entier relatif. [...]

[...] Tracer Ck-1 dans le même repère que Cf. 7°/ Expliciter k-1x et calculer k-1'x Corrigé 1°/ Détermination du domaine de définition Df et calculs des limites aux bornes de Df x f1x ∃ ssi x+1 ssi x ssi x ∈-infinity;-1∪-1;+infinity Df1=-infinity;-1∪-1;+infinity∩-infinity;1 Df1=-infinity;-1∪-1;1 Df1=-infinity;1∖-1 x f2x ∃ ssi x>=0x+1 ssi x ∈0;+infinityx ssi x ∈0;+infinity∩-infinity;-1∪-1;+infinity ssi x ∈0;+infinity Df2=0;+infinity∩1;+infinity Df2=1;+infinity Il en résulte : Df=-infinity;1∖-1∪1;+infinity Df=-infinity;-1∪-1;1∪1;+infinity Df=R∖-1 limx-->-infinityfx=limx-->-infinityx3x+1=limx-->-infinityx3x=limx-->-infinityx2=+infinity limx-->-infinityfx=+infinity limx-->+infinityfx=limx-->+infinityxx+1="+infinity"+infinity F.I Forme indéterminée limx-->+infinityxx+1=limx-->+infinityxxxx1+1x=limx-->+infinityxx1+1x=limx-->+infinity1x1+1x=01+0=0 limx-->+infinityfx=0 Cf admet une asymptote horizontale en +infinity , d'équation 2°/ Etude de la continuité et de la dérivabilité de f en 1 La fonction f est continue en si la condition suivante est vérifiée : limx-->1-fx=limx-->1+fx=f1 limx-->1-fx=limx-->1-x3x+1=131+1=12 ⇒ limx-->1-fx=12 limx-->1+fx=f1=limx-->1+xx+1=11+1=12 ⇒limx-->1+fx=12 limx-->1-fx=limx-->1+fx=f1=12 Donc f est continue en 1. [...]

[...] 4°/ Etudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation. 5°/ Soit k la restriction de f à 1;+infinity.Montrer que k admet une bijection réciproque k-1 puis déterminer le domaine de définition de k-1.et ses variations. 6°/ montrer que k-1 est dérivable en 56 et calculer k-1'56. [...]