Étude d'une fonction rationnelle, analyse coût-bénéfice et coût moyen de production

Thèmes abordés

Fonction rationnelle, coût-bénéfice, coût moyen de production, mathématiques, polynôme

Résumé du document

Ce document contient trois exercices de mathématiques sur la fonction rationnelle, le coût-bénéfice et le coût moyen de production.

Extraits

[...] Donc la droite a pour coefficient directeur 13-(-5)1-(-2)=183=6et une équation est de la forme y=6x+b, avec b∈R. On sait que le point A appartient à donc que 13=6x1+b, soit b=7. Une équation de est donc y=6x+7. A la calculatrice, on trouve que ces deux points d'intersection ont pour coordonnées B(-0,5;4)et K13;9. Vérifions : 6x(-0,5)+7=-3+7=4et 6x13+7=2+7=9. Donc ces deux points sont bien sur la droite (AD). f(-0,5)=12-0,5+30,25-2-0,125=-24+12+16=4et f13=12x3+3x9-2x27=36+27-54=63-54=9. Donc B et K sont aussi sur la courbe de et sont donc les points d'intersection avec la droite (AD). [...]

[...] Étude d'une fonction rationnelle, analyse coût-bénéfice et coût moyen de production Exercice 2 Partie A C'est la proposition car on remarque qu'alors quand la courbe de est positive, celle de f est croissante et quand celle de est négative, celle de f est décroissante. Partie B f'(x)=-12x²-3x2xx4+2x3x2x6=-12x²-6x3+6x4=6x-2x2-x+1x4 Le dénominateur est strictement positif, ainsi que 6. Etudions le signe du numérateur, et pour cela calculons le discriminant Δdu trinôme : Δ=(-1)2-4x(-2)x1=1+8=9. Il y a donc deux racines : x1=1-92(-2)=-2-4=0,5et x2=1+92(-2)=4-4=-1. Le signe du coefficient dominant (ici est négatif, donc le signe de f ' est négatif à l'extérieur des racines. [...]

[...] L'entreprise ne pourrait alors pas réaliser de bénéfices. D'après le graphique, pour un prix de 680Euro, l'entreprise réalise un bénéfice entre 2 et 9 kms de tissu produit et vendu car la droite tracée est au-dessus de la courbe sur cet intervalle. B'(x)=680-C'(x)=680-45x2+240x-500=-45x2+240x+180 B'(x)=15(-3x2+16x+12).Calculons le discriminant Δdu trinôme : Δ=162-4x(-3)x12=256+144= Il y a donc deux racines : x1=1-92(-2)=-2-4=0,5et -16+4002(-3)=4-6=-23. Le signe du coefficient dominant (ici est négatif, donc le signe de B ' est négatif à l'extérieur des racines. B(10)=680x10-C(10)=6800-8750=-1950et B(6)=680x6-(15x63-120x6²+500x6+750)=4080-2670=1410 Le tableau de variations de B est donc comme suit : 0 x B - B -750 -1950 Le bénéfice est maximum quand l'entreprise produit et vend 6 kms de tissu. [...]

[...] Le dénominateur est également positif car c'est un carré, doncS'(x)>0. La fonction S est donc strictement croissante sur[100;900]. Partie C A la calculatrice, on trouve S(627)= 799,49 et S(628) = 800,53. Donc le magasin peut commander 627 kilos de fruits sans dépasser son budget. A la calculatrice, on trouve S(437) =599,76 et S(438)=600,83. Donc le magasin peut commander entre 438 et 627 kilos de fruits pour dépenser entre 600 et 800 euros. 3)S(500)=500x500+300500+100=500x800600=500x43=20003≈667 La valeur moyenne m s'arrondit donc à 667 euros. [...]

[...] Donc le tableau de variations de CMest : 0 x - + CM(x) Le coût moyen de production est minimum pour 5 kms de tissu produit. A la question 2 de la partie on avait déjà trouvé que la solution de l'équationaxC'(a)=C(a)était a=5. CM(x)s'annule quandxxC'(x)-C(x)=0, on retrouve la même équation, les deux résultats sont donc cohérents. Cela nous donne un moyen général de trouver le coût moyen minimal directement à partir de la courbe de C : on cherche la droite qui passe par l'origine du repère et qui est tangente à la courbe de l'abscisse du point d'intersection de cette droite et de la courbe est la valeur cherchée. [...]