Étude d'une fonction - Exercice corrigé

Thèmes abordés

Fonction f, valeur absolue, ensemble de définitions, continuité, dérivabilité, interpréter, branches infinies, équation, solution, graphique, tracer, repère orthonormé, restriction, bijection réciproque, variations, calculer, repère, borne supérieure, déduire

Résumé du document

Le document est un exercice corrigé en mathématiques. Il s'agit de déterminer le domaine de définition d'une fonction f, et d'étudier la dérivabilité, la continuité, les branches infinies et la restriction de cette dernière.

Extraits

[...] Tableau de variation de f Détermination de la bijection réciproque son domaine de définition et ses variations. g est continue et strictement croissante sur 2;+infinity , alors elle réalise une bijection de 2;+infinity vers 0;+infinity . Dg-1=0;+infinity g et g-1ont le même sens de variation. Comme que g est continue et strictement croissante sur 2;+infinity donc elle en est de même pour g-1 sur 0;+infinity. Etude de la dérivabilité de g-1 g-1 est continue et strictement croissante sur 0;+infinity , elle admet aussi une dérivabilité en 0. [...]

[...] Il s'agit de déterminer le signe de 4-x2 et de déduire l'expression 4-x2 sur 0;+infinity . Soit 4-x2=0⇒4-x2=0⇒2-x2+x=0⇒x=2 ou x=-2. Il en résulte : fx=-x+x2+4 si x ∈-infinity;04-x2 si x ∈0;2x2-4 si x ∈ 2;+infinity Etude de la continuité de f en 0. fest continue en 0 si la condition suivante est vérifiée : limx-->0-fx= limx-->0+fx= f0 limx-->0-fx= limx-->0--x+x2+4 limx-->0--x+x2+4 f est continue à gauche en limx-->0+fx= limx-->0+4-x2=4-02=4 limx-->0+4-x2=2 f est continue à droite en f0=2 limx-->0-fx= limx-->0+fx= f0=2 D'après ce qui précède f est continue en 0. [...]

[...] Montrer qu'il existe une unique α ∈0;2 solution de l'équation fx=x. Vérifier que α ∈1;32. Que représente graphiquement α ? Tracer soigneusement Cf dans un repère orthonormé. Soit g la restriction de f à 2;+infinity Montrer que g admet une bijection réciproque g-1 dont on précisera son ensemble de définition et ses variations. Etudier la dérivabilité de g-1 Calculer g-1'5 Exprimer g-1x Tracer Cg-1 dans le même repère Montrer que ∀ x ∈1;32 f'x≤377 En déduire que fx-α≤377x-α Détermination du domaine de définition de f . [...]

[...] Donc hx est dérivable dans 0 ; car étant somme de fonctions dérivables. Rappel : u'=u'2u Le tableau de variation de h est la suivante : h0=4-02-0=2 h2=4-22-2=-2 La fonction h est continue et décroissante sur 0;2 alors elle réalise une bijection de 0;2 vers-2;2. Or 0 ∈-2;2 d'où l'équation hx=0resp fx=x admet une unique solution α dans 0;2 ssi hα=0 ssi fα=α ssi 4-α2=α . hx=4-x2-x Donc h1=4-12-1=3-1≈0,73 Donc h32=4-322-32=4-94-32=16-94-32=7-32≈-0,35 h1xh32 [...]

[...] Étude d'une fonction - Exercice corrigé Soit f la fonction définie par : -x+x2+4 si x [...]