Étude d'une fonction - publié le 06/03/2024

Thèmes abordés

Fonction, sens de variation, limite, courbe représentative, inflexion, équation, tangente

Résumé du document

Ce document propose un exercice corrigé de mathématiques sur les fonctions de niveau lycée.

Extraits

[...] Si l'on montre que la fonction x 7→ e x − xe x est de classe C 3 sur le même intervalle, alors on aura montrer le résultat par somme de fonction de classe C Or la fonction x 7→ 1x est de classe C 3 sur donc par composition puis par produit, la fonction x 7→ xe x est bien de classe C 3 sur +∞[. Par somme de fonctions de classes C la fonction φ est de classe C 3 sur +∞[. [...]

[...] Comme de plus φ0 = e1 − e 1 − 11 ) = e on en déduit donc que : ∀x ∈]0; φ0 e On peut alors résumer cette question dans le tableau de variations-signes suivant : Question 3 La fonction φ est donnée par 1 ∀x ∈]0; = e x − xe x 1 lim 1x = +∞ et lim ey = +∞ donc par composition de fonction et par croissances comparées, on a lim xe x = +∞. x→0 x>0 y→+∞ x→0 x>0 De plus par somme on a alors lim = −∞ x→0 Question 4 On nous demande d'étudier la limite en +∞de la fonction x 7→ = ex − e x . x 1 lim 1x = 0 donc par continuité de la fonction exponentielle, on a lim e x = 1. [...]

[...] Or ce x dernier tend encore vers +∞ donc φ admet une branche parabolique de directionOy. [...]

[...] D'où : x4 x2 ∀x ∈]0; φ000 = e x − −3 1x −1 e − 3 x 2 ) 4 x x x D'où après simplification : ∀x ∈]0; φ000 = e x + 3 1x e + 5ex 4 x x Ce qui donne enfin : ∀x ∈]0; φ000 = e x + 1 3x + 1 1x e x x et = e x . Donc Question 2 La fonction φ00 est donnée par : 1 1x e x3 On connait sa dérivée, donc pour obtenir les variations de φ00 il suffit d'observer le signe de φ Or la fonction φ000 est strictement positive sur +∞[ par somme de fonctions positives. La fonction φ00 est donc croissante sur +∞[. [...]

[...] On regarde alors les variations de cette fonction afin d'en déduire le signe. 7→ − ex))0 = 7→ φ0 − donc d'après la question comme ∀x ∈]0; φ0 on en déduit que la fonction considérée est positive et que donc la fonction x 7→ − ex est croissante. Donc ∀x − ex − 3e Or 15 6 > 0 Ainsi : ∀x − ex 0 d'où le résultat souhaité. [...]