Espaces vectoriels et transformations de Laplace et Fourier

Thèmes abordés

Espace vectoriel, transformée de Laplace, transformée de Fourier, vecteur, matrice, espace hermitien, système différentiel

Résumé du document

Ce document comprend cinq exercices de mathématiques, dont deux sur les espaces vectoriels et trois sur les transformations de Laplace et Fourier.

Extraits

[...] De plus, on a : donc : 0<α+α-<=λnλ1 On obtient alors : α+α--1α+α-+12<=λnλ1-1λnλ1+12 Et finalement : ax,y2<=λn-λ1 λn-λ12 ax,xay,y Là encore, l'inégalité est vérifiée, ce qui conclut cet exercice. TRANSFORMEE DE LAPLACE ET DE FOURIER Exercice 1 La fonction est continue sur comme produit de fonctions continues. De plus on pour tout : f(t)e-xt<=Mferfte-xt=Mfe(rf-x)t Or pour x>rf, on a e(rf-x)t=o1t2 quand t tend vers +infinity. On en déduit que est intégrable sur [0;+infinity[ pour x>rf. Ainsi, pour x>rf, est bien défini. En plus de ce qui a été vu à la question la fonction est continue sur ]rf;+infinity[. [...]

[...] On obtient donc le système d'équations: Ly1'x+2Ly2'x+3Ly3'x=L0x=0 Ly1'x-Ly2'x=L3t-3x Ly2'x+2Ly3'x=L1-t2x Soit : xLy1x+2xLy2x+3xLy3x=0 xLy1x-xLy2x=L3t-3x xLy2x+2xLy3x=L1-t2x Calcul de L3t-3x: L3t-3x=3Lt-1x L3t-3x=30+infinity(t-1)e-xtdt L3t-3x=-30+infinitye-xtdt+30+infinityte-xtdt 0+infinitye-xtdt=e-xt-x0t-->+infinity=1x Puis par une intégration par parties : 0+infinityte-xtdt=te-xt-x0t-->+infinity+1x0+infinitye-xtdt 0+infinityte-xtdt=1x2 Finalement : L3t-3x=-3x+3x2 Calcul de L1-t2x L1-t2x=0+infinitye-xtdt-0+infinityt2e-xtdt On a déjà calculé : 0+infinitye-xtdt=1x Par une intégration par parties, on a : 0+infinityt2e-xtdt=t2e-xt-x0t-->+infinity+1x0+infinity2te-xtdt 0+infinityt2e-xtdt=2x3 Finalement : L1-t2x=1x-2x3 Comme le système nous donne alors : Ly1x+2Ly2x+3Ly3x=0 xLy1x-xLy2x=-3x+3x2 xLy2x+2xLy3x=1x-2x3 Soit : Ly1x+2Ly2x+3Ly3x=0 Ly1x-Ly2x=-3x2+3x3 Ly2x+2Ly3x=1x2-2x4 Ou encore : Ly1x=Ly2x-3x2+3x3 Ly3x=12-Ly2x+1x2-2x4 Ly2x-3x2+3x3+2Ly2x+32-Ly2x+1x2-2x4=0 32Ly2x=32x2-3x3+3x4 Ly2x=1x2-2x3+2x4 On en déduit : Ly1x=1x2-2x3+2x4-3x2+3x3 Ly1x=-2x2+1x3+2x4 Puis : Ly3x=121x2-2x3+2x4+1x2-2x4 Ly3x=1x2-1x3-1x4 Or, on sait que (voir exercice L est injective. De plus, d'après les calculs qui précèdent, on sait que : Ltx=1x2 Lt2x=2x3 En suivant la même logique, il semble normal d'essayer de calculer Lt3x : Par une intégration par parties, on a : 0+infinityt3e-xtdt=t3e-xt-x0t-->+infinity+1x0+infinity3t2e-xtdt 0+infinityt3e-xtdt=6x4 Finalement : Lt3x=6x4 Nous avons donc : 1x2=Ltx 1x3=12Lt2x 1x4=16Lt3x On peut ainsi conclure et on trouve : y1x=-2x+12x2+13x3 y2x=x-x2+13x3 y3x=x-12x2-16x3 Ces fonctions ont été trouvées pour x>0. Mais on peut vérifier rapidement qu'elles sont solutions du système différentiel sur R tout entier. [...]

[...] De la même manière : supposons maintenant que μnId>=a. Des calculs similaires aux précédents nous donnent alors : μnx2-ax,x>=0 pour tout x. Prenons x appartenant au sous-espace propre associé à la valeur propre λn. On obtient alors : μnx2-(λnx,x)>=0 soit μnx2-λnx,x>=0 car λn est réel (toutes les valeurs propres d'un auto-adjoint le sont). On aboutit à : μnx2-λnx2>=0 soit (μn-λn)x2>=0 Et comme x2>=0 on a finalement : μn>=λn. Finalement : μ1<=λ1<=λn<=μ2 Le polynôme caractéristique de la matrice A est donné par : PX=a-Xbbc-X=a-Xc-X-bb PX=ac-aX-cX+X2-b2 PX=X2-a+cX+ac-b2 Les racines de ce trinôme sont les valeurs propres de la matrice A. [...]

[...] On a : L(1-t)et=Let-Ltet Or la fonction est une fonction appartenant à E. On peut alors écrire, pour x appartenant à l'intervalle ]1;+infinity[ : Ltet=0+infinitytete-xtdt=0+infinityte1-xtdt Puis, par une intégration par parties : Ltet=e1-xt(1-x)t0t-->+infinity-0+infinitye1-xt(1-x)dt Ltet=--e1-xt(1-x)20t-->+infinity Ltet=1(1-x)2 Ainsi : L(1-t)et=1x-1-1(1-x)2 L(1-t)et=x-1-1(1-x)2=x-2(1-x)2 Comme L est injective, il existe une seule fonction y telle que : Lytx=x-2(x-1)2 On en déduit : yt=(1-t)et Exercice 2 La fonction définie par t-->e-te-2iPIyt est une fonction continue sur R. De plus, en +infinity et -infinity, on a : e-te-2iPIyt=e-t=o1t2 On en conclut que par t-->e-te-2iPIyt est intégrable sur R mais aussi sur ]-infinity;0] et [0;+infinity[ ce qui nous permet d'écrire : fy=-infinity+infinitye-te-2iPIytdt fy=-infinity0ete-2iPIytdt+0+infinitye-te-2iPIytdt fy=-infinity0e(-2iPIy+1)tdt+0+infinitye(-2iPIy-1)tdt fy=e-2iPIy+1t-2iPIy+1t-->-infinity0+e-2iPIy-1t-2iPIy-10t-->+infinity Or e-2iPIy+1t=et, qui a comme limite 0 en -infinity. [...]

[...] De plus, les applications produits hermitiens et module sont continues. En faisant tendre ε vers 0 dans l'inégalité trouvée ci-dessus, on obtient donc l'inégalité suivante : ax,y2<=ax,xay,y On a : Or a est auto-adjoint donc a*=a. On obtient : Ainsi est bien auto-adjoint. De plus, pour x appartenant à b*?a?bx,x=a?bx,bx=abx,bx Or appartient à E et donc, comme a est positif, on peut en déduire : Comme cette dernière égalité est valable pour tout x de on en déduit que est positif. [...]